数学：1.3.2《函数的奇偶性》学案（新人教A版必修1）VIP免费

第4课时函数的奇偶性1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(xfaxf、或mxfaxf)()(（a、m均为非零常数，0a），都可以得出)(xf的周期为；②)(xfy的图象关于点)0,(),0,(ba中心对称或)(xfy的图象关于直线bxax,轴对称，均可以得到)(xf周期例1.判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=2211xx;(2)f(x)=log2(x+12x)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1） x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R，又 f(-x)=log2［-x+1)(2x］=log2112xx=-log2(x+12x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R，又 f（-x）+f（x）=log2［-x+1)(2x］+log2(x+12x)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x≠2.∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：基础过关典型例题（1）f（x）=（x-2）xx22；（2）f（x）=2|2|)1lg(22xx；（3）f（x）=.1(2),1|(|0),1(2）xxxxx解：（1）由xx22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.（2）由.02|2|0122xx，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f（x）=2222)1lg(2)2()1lg(xxxx. f（-x）=-),()1lg()()(1lg2222xfxxxx∴f（x）为偶函数.（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.例2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明： 函数定义域为R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一设x,y∈R+， f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）. x∈R+，f（x）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x). x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又 f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. f(1)=-21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值. f（1）=-21，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解： f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x)（x＞0）.∴f(x)=).0()2lg(),0()2lg(xxxxxx即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).例3已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0...