数学归纳法（2）教学目标知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．教学重点:体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．教学难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．教学过程:学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当时．数学运用例1．设，．（1）当时，计算的值；（2）你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）当时，；当时，；当时，；当时，．（2）猜想：当时，能被8整除．①当时，有能被8整除，命题成立．②假设当时，命题成立，即能被8整除，用心爱心专心116号编辑那么当时，有．这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何都成立．变式：求证当取正奇数时，能被整除。证明：（1）时，，能被整除，命题成立。（2）假设(为正奇数)时，有能被整除,当时，∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立。由（1）、（2）可知，对一切正奇数，都有能被整除．例2．在平面上画条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点问：这条直线将平面分成多少个部分？解：记条直线把平面分成个部分，我们通过画出图形观察的情况：n=5n=4n=3n=2n=1从图中可以看出，，，，．用心爱心专心116号编辑由此猜想．接下来用数学归纳法证明这个猜想．（1）当时，结论均成立；（2）假设当时，结论成立，即，当时，第条直线与前面的条直线都相交，有个交点，这个交点将这条直线分成段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以，结论也成立．根据（1）和（2），可知对，均有，即．例3．已知，求证：．证明：（1）当时，，即时命题成立．（2）假设当时命题成立，即，当时，故当时，命题成立．由（1）和（2）可知，对，不等式都成立．巩固练习：证明对，成立．教学反思：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．用心爱心专心116号编辑变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为(4)数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．用心爱心专心116号编辑
