一、选择题1．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝()A．－B.C．2D．－2解析：选A.因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)，又因为(2a＋b)∥(a－mb)，所以(－1)×2＝4(1＋3m)，解得m＝－.2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：选A.由BD＝2DC得AD－AB＝2(AC－AD)，所以有AD＝(2AC＋AB)＝(2b＋c)，故选A.3．(2011年高考湖北卷)若向量a＝，b＝，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.解析：选C.2a＋b＝2＋＝，a－b＝－＝，·＝9.|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝＝，∴α＝.4．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关解析：选B.如图，∵AB＋AC＝AD＝2AO，△ABC为正三角形，∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴AP在向量AD上的投影为AO，又|AO|＝，∴AP·(AB＋AC)＝|AO|·|AD|＝6，故选B.5．(2011年高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．2解析：选B.由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a＋b－c|≤1.二、填空题6．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，λ)，且a与b共线，则|a＋b|的值为________．解析：由a与b共线，得λ＋2＝0，所以λ＝－2，所以b＝(－2，－2)，则a＋b＝(－1，－)，所以|a＋b|＝＝2.答案：27．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为________．解析：因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.答案：8．(2011年高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底，结合图形可得AD＝(AB＋AC)，BE＝AE－AB＝AC－AB，∴AD·BE＝(AB＋AC)·＝AC2－AB2－AB·AC＝－－cos60°＝－.答案：－三、解答题9．已知向量AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，a∈R.(1)若D为BC中点，AD＝(m,2)，求a、m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．解：(1)因为AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，所以AD＝＝.又AD＝(m,2)，所以解得(2)因为△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.当A＝90°时，由AB⊥AC，得3×(－1)＋1·a＝0，所以a＝3；当B＝90°时，因为BC＝AC－AB＝(－4，a－1)，所以由AB⊥BC，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，所以a＝13；当C＝90°时，由BC⊥AC，得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解．综上所述，a＝3或13.10．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－.又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.11．已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解：(1)∵m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋，又∵m·n＝1，∴sin＝.又∵cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，∴cos＝cos＝－cos＝－.(2)由(2a－c)cosB＝bcosC及正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，cosB＝，B＝，∴0
