求函数最值的基本方法VIP免费

引入求函数的最值是高考试题中的常见问题，需要掌握一些基本的方法。一、观察法对于一些简单函数，我们可以通过观察去求值。2116yx例、求函数的最值。2(31)x变式：求函数f(x)=log的值域。二、配方法涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解221222122,-2)(35)0()xxxkxkkkRxx例、已知是方程（的两个实数根，求的最大值。-+++=Î+221212221212,,xxxxxxxxk++【分析】是方程的两个实数根，求的最大值,必须用韦达定理，先列出用方程系数中的k表示的函数式，同时，要确保为实数，须用判别式确定的取值范围。22222212121222222max12max=[-(k-2)]4(35)04-43()2(k-2)2(35)1064()(5)19,-4,]3()(4)18,18kkkxxxxxxkkkkfkkfkfxxD-++³££-+=+-=-++=---=-++-\=-=+=解:因方程有实数根，则解得，令它在[上是减函数。即（）三、换元法对于一个较复杂的函数式，常要经过适当的恒等变换，变成一个二次函数，再用配方法求值域。3212yxx例、求函数的最大值。=+-+21yxx变式：求函数的最值。2222max1=(0)112223(1)44,14.()4xttxtytttttytyfx解：令，则且当时，-³=-\=-++=-++=--+\£==\=2yaxabx【分析】形如的函数，常用三角换元求值域。四、判别式法某些特殊函数如分式函数、无理函数，经适当代数变形后，可变为以函数式中因变量为字母系数的关于自变量的二次方程，因自变量为实数，从而方程的根的判别式不能为负，故获得关于因变量的不等式0，通过解此不等式来求得函数的最值，这就是判别式法。D³221xx例4、求函数y=的最值。++x【分析】这是个分母为自变量的二次式的分式函数，通过去分母、移项整理，可变形得到关于x的二次方程，故可以考虑用判别式法求此函数的最值，但要注意去分母可能扩大函数定义域从而扩大函数值域，导致错解，因此必须注意检验。22min2max(2)0..............(1)=4(2)080300,8113212821383xyxyxyyyyyyxxyxxy解：去分母、移项整理后得关于的二次方程因x为实数，所以y解得，显然原函数的函数值大于即不存在将y=代入方程（），解得即存在使得++-=D--³££\¹==-==++\=251yxx例、求函数的最值=+-【分析】这是个含二次根式的无理函数，适当变形去根号后可变成关于x的二次方程，且y含于方程系数中，因此可以考虑用判别式法求最值。2222max2min2(1)0..........(1)[1,1]44(1)0-22221[1,1],22221,221=2()02xyxyxyyyyxyyxxyxy-+-=Î-\D=--³££==Î-\==-=---=---<\解：移项、平方去根号、整理后得：2取实数值，解得，将代入方程（），得将代入方程（），得而不存在.五、利用基本不等式332+32+3abababcabcababababcabc运用平均不等式以及是求某些函数最值的一种重要方法。运用平均不等式求函数最值时，一定要注意满足这个不等式的前提条件：、均为正实数。使各因式的和为常数是利用平均不等式求最值的首要点，因此常需将函数式进行适当的恒等变形使其满足这一条件，同时还要各因式相等能够实现，否则也会导致错误。+³+³+³+³2[2,2],-200,-20fabababxxyabRx+=+³Î-£££Î££【分析】该函数形如，联想平均不等式，可以考虑利用这个不等式来求最值，但该函数定义域为当时，，不符合不等式中的要求，因此需要考虑分类讨论求解，且在时，将函数式作适当变形。24yxx变式：求函数的最值.=-3loglog31xyx例6、求函数的值域222222max222222min021(4)[(4)]22=4222,201()[4()][()(4)]22)=4()222,2xyxxxxxxxxyyxyxxxxxxxxyy££=-£+-=-===\=££=----³--+-=---=-=-=-\=-解：当时，当且仅当，即时取等号，即当时，有当-2时，当且仅当(-，即时取等号，即当时，有六、利用函数的导数求函数最值43234125yxxx例7、求函数的最值.=--+【分析】多项式函数用导数求最值较为简捷，但用导数常求得函数的局部极值，所以必须比较后求得函数在它整个定义域上的最值。利用导数求函数最值，必须熟练掌握各种初等函数的导数以及积、商的导数法则，函数的图像有间断点时，必须将其列为分段时的一个分点，以便正确确定各分段中导数的值的正负符号和函数的增减性以及局部极值点。32123122412(1)(2)01,0,2-xxxxxxxxx解：对已知函数求导：y=12令y=，得驻点：列表讨论求解：原函数的定...