4.3相似三角形(见B本37页)A练就好基础基础达标1．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝45°，∠B＝105°，则∠C′的度数是(A)A．30°B．45°C．30°或45°D．75°2．下列说法中不一定正确的是(D)A．两个全等的三角形是相似三角形B．两个等边三角形是相似三角形C．两个等腰直角三角形是相似三角形D．两个直角三角形是相似三角形第3题图3．2017·杭州中考如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝124．如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则k1与k2的关系是(D)A．k2＝k1B．k1＋k2＝0C．k1·k2＝－1D．k1·k2＝15．如图所示，△DEF∽△DGH，则图中DE的对应边是__DG__，∠F的对应角是__∠H__．第5题图6．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为13.若A′B′＝2，则AB＝__23__．7．在△ABC中，BC＝54，CA＝45，AB＝63.另一个和它相似的三角形的最短边是15，则它的最长边一定是__21__．第8题图8．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，点D与点B是对应点.△ADE∽△ABC.已知AD∶DB＝1∶2，BC＝9cm.则DE的长为__3_cm__．第9题图9．如图所示，△ABC∽△ACD，若∠A＝35°，∠B＝65°，求∠ADC，∠BCD的大小．【答案】∠ADC＝80°，∠BCD＝15°第10题图10．如图所示，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连结CF.求证：△CFE∽△ABC.证明：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝12BC，又∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形BCFD为平行四边形．∴△CFE与△ABC三个内角对应相等．又由△ADE≌△CFE，可得△CFE与△ABC三条对应边的比均为1∶2，∴△CFE∽△ABC.B更上一层楼能力提升11．本溪中考如图所示，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为__3或43__．【解析】∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，∴∠A＝∠DCE，∴ABCD＝ACCE或ABCE＝ACCD，即42＝6CE或4CE＝62，解得，CE＝3或CE＝43.第11题图第12题图12．如图所示，在直角坐标系上的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点)，若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似(点C除外)，则格点P的坐标是(1，4)或(3，4)或(3，1)．第13题图13．2017·齐齐哈尔中考经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图所示，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，求∠ACB的度数．解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∠ADC>∠BCD，∴∠ADC>∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝12×(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.C开拓新思路拓展创新第14题图14．2017·无棣二模如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，△AEF∽△ABC.求证：△AED≌△AFD.证明：∵△AEF∽△ABC，∴AEAB＝AFAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，AE＝AF，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD.15．广州中考如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A43，53，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．第15题图解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将A43，53，D(0，1)代入，得43k＋b＝53，b＝1，解得k＝12，b＝1，故直线AD的解析式为y＝12x＋1.第15题答图(2)∵直线AD与x轴的交点为(－2，0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1，∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3，∴BC＝5.∵△BOD与△BEC相似，∴BDBC＝BOBE＝ODCE或OBBC＝ODCE，∴55＝2BE＝1CE或25＝1CE，∴BE＝25，CE＝5或CE＝52，∵BC·EF＝BE·CE，∴EF＝2，CF＝CE2－EF2＝1，∴E(2，2)或3，52.
