3.7正多边形一、选择题1．2017·北京若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是()A．6B．12C．16D．182．2017·苏州如图1，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为()图1A．30°B．36°C．54°D．72°3．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A．12mmB．123mmC．6mmD．63mm4．如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，M为BC的中点，N为DE的中点，则∠MON的大小为()图2A．108°B．144°C．150°D．166°5．[2015·杭州]如图3，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连结任意两点均可得到一条线段．在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为()图3A.14B.25C.23D.596．2017·河北已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图4所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转⋯⋯在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是()图4A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5二、填空题7．2017·湖州已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是________．8．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图5所示拼接在一起，则∠ABC＝________度．图59．2017·玉林如图6，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形，则四边形的周长是________．图610．2017·咸宁如图7，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2017时，顶点A的坐标为________.图711．如图8，已知正十二边形A1A2⋯A12，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.图8三、解答题12．若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．13．如图9所示，在⊙O中，AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EF︵＝FA︵.求证：六边形ABCDEF是正六边形．图914．作图与证明：如图10，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(2)连结BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明.图1015．如图11所示，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连结AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图1116如图12，有六个矩形水池环绕，矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4m．要从水源点P(正六边形的中心)处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是多少米？(所有管道都在同一平面内，结果保留根号)图121．[答案]B2．[答案]B3．[答案]A4．[解析]B M为BC的中点，N为DE的中点，∴OM⊥BC，ON⊥DE，∴∠OMC＝∠OND＝90°. 五边形ABCDE是正五边形，∴∠C＝∠D＝(5－2)×180°÷5＝108°，∴∠MON＝(5－2)×180°－2×90°－2×108°＝144°.故选B.5．[解析]B如图，连结AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N， 点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，∴AN＝32，∴AE＝3，同理可得：AC＝3.故连结两点所得的所有线段一共有15种情况，任取一条线段，取到长度为3的线段有6种情况，则在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为25.6．[解析]C在第一次旋转中BM＝1，在第二次旋转中BM＝1，在第三次旋转中BM的长从1变化到3－1，在第四次旋转中BM的长从2－2变化到3－1，在第五次旋转中BM的长从3－1变化到1，在第六次旋转中BM＝1.故选C.7．[答案]58．[答案]24[解析] 正六边形的每一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°，正五边形的每一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°. 两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝12×(180°－132°)＝24°.9．[答案]82＋810．[答案](2，23)[解析]如图所示，连结OA，设AF与y轴交于点M，则△AOB为等边三角形． 正六边形ABCDEF的边长为4，∴OA＝AB＝OB＝4，∠OAM＝60°，∴点B的坐标为(－4，0)． AF∥x轴，∴∠AMO＝90°，∴AM＝12OA＝2，OM＝23，∴点A的坐标为(－2，23)． 正六边形是轴对称图形，∴点C的...
