人教A版高中数学高三一轮平面解析几何81直线的倾斜角与斜率、直线的方程【素材】考向归纳VIP免费

第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程考向归纳考向1直线的倾斜角与斜率1．直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.π6，π2∪π2，5π6B.0，π6∪5π6，πC.0，5π6D.π6，5π6【解析】直线的斜率k＝－33cosα∈－33，33，设直线的倾斜角为θ，则－33≤tanθ≤33.所以0≤θ≤π6或5π6≤θ<π，故选B.【答案】B2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23【解析】设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋72＝1，y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝－3－17＋5＝－13.故选B.【答案】B3．若直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．【解析】如图所示，为使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足k≥kPA或k≤kPB，又kPA＝－3－2－2－－＝5.kPB＝0－23－－＝－12，则k∈－∞，－12∪[5，＋∞)．【答案】－∞，－12∪[5，＋∞)1．已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)．(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．2．直线的斜率与倾斜角的关系(1)当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k由0增大到＋∞.(2)当α∈π2，π时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由－∞趋近于0(k≠0)．考向2直线的方程●命题角度1求直线方程1．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．【解析】由题意知，截距不为0，设直线l的方程为xa＋y12－a＝1.又直线l过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9，故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.【答案】4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝02．若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．【解析】由题意知M(3,2)，若直线l在两坐标轴上的截距为0，即直线l过(0,0)及(3,2)，所以直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若直线l在两坐标轴上的截距不为0，则设直线l的方程为xa＋ya＝1，又点(3,2)在直线l上，所以3a＋2a＝1，解得a＝5，因此直线l的方程为x＋y－5＝0.综上知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0●命题角度2与直线方程有关的最值问题图8-1-13．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图8-1-1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】法一设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，则A(a,0)，B(0，b)，△ABO的面积S＝12ab， 直线l过点P(3,2)，∴3a＋2b＝1≥26ab，即ab≥24.当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号．∴S＝12ab≥12，当且仅当a＝6，b＝4时有最小值12.此时直线l的方程为x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.法二设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)．令x＝0，得y＝2－3k，令y＝0，得x＝3－2k，即A3－2k，0，B(0,2－3k)．∴S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k≥1212＋2－9k·f(4－k)＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k时，即k＝－23时，等号成立．即△ABO面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.1．求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．解决直线方程问题的注意点(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.考向3两条直线平行、垂直的关系(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，则a的值为________．【解析】(1)由l1∥l2得a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1，经验证当a＝2或a＝－1时l1∥l2.(2)由l3⊥l4得(a＋2)(a－2)＋(2－a)(3a－4)＝0，解得a＝2或3.【答案】(1)2或－1(2)2或3根据两条直线平行...