1第二章泊松过程泊松过程定义泊松过程的数字特征时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布复合泊松过程非齐次泊松过程滤过泊松过程2计数过程：称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：1.N(t)≥0;2.N(t)取正整数值；3.若s0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。3泊松过程定义1：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件：1、X(0)=0；2、X(t)是独立增量过程；3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有,1,0,!)(})()({nntensXstXPnt泊松过程同时也是平稳增量过程ttXE)]([表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率或强度4泊松过程定义2：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件：1.X(0)=0；2.X(t)是独立、平稳增量过程；3.X(t)满足下列两式：)(}2)()({)(}1)()({hotXhtXPhohtXhtXP例如：•电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；•火车站某段时间内购买车票的旅客数；•机器在一段时间内发生故障的次数；•保险的理赔5定理：定义1和定义2是等价的。例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过程。求(1)两分钟内接到3次呼叫的概率。(2)第二分钟内接到第3次呼叫的概率。6泊松过程的数字特征设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s[0,∞)∈，且ss1+s2|S>s1}。即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的时间至少在将来s2时刻的概率。8时间间隔的分布设{N(t),t≥0}是泊松过程，令N(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。9定理：设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。对于任意n=1,2,…事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为0,00,1}{)(ttetTPtFtnTn概率密度为0,00,)(ttetftTn10等待时间的分布等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布niinTW1因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。11定理：设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与λ的Г分布，其概率密度为0,00,)1()()(1ttntetfntWn例：已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松过程，若仪器振动k（k>=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。12到达时间的条件分布假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。泊松过程平稳独立增量过程可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s
