线性代数第三章习题课VIP专享VIP免费

1第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题课典型例题主要内容2矩阵的初等变换矩阵的初等变换相关定理相关定理初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵等价矩阵等价矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵矩阵的标准形矩阵的标准形行最简矩阵行最简矩阵秩的定义秩的定义相关定理及性质相关定理及性质矩矩阵阵的的秩秩有解判别定理有解判别定理方程组的解法方程组的解法线线性性方方程程组组返回下页3一、初等变换1.初等变换的定义(1)(),();(2)0(),();(3)()(),().ijijiiijijrrcckrkckkrkrckc对调矩阵的两行列记作以数乘某一行列中的所有元素记作把某一行列所有元素的倍加到另一行列对应的元素上去记作上页返回下页4初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换．()ijijrrcc()ijijrrcc()iirkck11()iirckk()ijijrkrckc()(())ijijrkrckc上页返回下页5,,~.ABABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵就称矩阵与等价记作反身性传递性对称性;~AA~,~;ABBA若则~,~,~.ABBCAC若则2.矩阵的等价上页返回下页63.初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵．由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．(,)(),:().ijmnijmEijAaAAijrr用阶初等矩阵左乘相当于对矩阵施行第一种初等行变换把的第行与第行对调(1)对调两行(列),得初等矩阵E(i,j).上页下页返回7,(,),:().ijnEijAAAijcc类似地用阶初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行第一种初等列变换把的第列与第列对调(2)以数k(非零)乘某行(列),得初等矩阵E(i(k)).上页下页返回(()),();(()),().iiEikAkAirkEikAkAick以左乘矩阵相当于以数乘的第行以右乘矩阵相当于以数乘的第列8(3)以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩阵E(ij(k))).(()),();(()),().ijjiEijkAAjkirkrEijkAAikjckc以左乘矩阵相当于把的第行乘以加到第行上以右乘矩阵相当于把的第列乘以加到第列上上页下页返回9经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为0；每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元．例如112140111000013000004.行阶梯形矩阵上页下页返回10经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如101040110300013000005.行最简形矩阵上页下页返回11对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素都为0．例如00000310003011040101000000010000010000016.矩阵的标准形34412()ccccc5123433cccc上页下页返回12,(),,,,.RmnmnEOFOOmnrr任何一个矩阵总可以经过初等变换行变换和列变换化为标准形此标准形由三个数完全确定其中就是行阶梯形矩阵中非零行的行数所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵．上页下页返回132,,,,.mnAkkkAkAk在矩阵中任取行和列位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式称为矩阵的阶子式0,1()0,,,().0.ArDrDArARA设在矩阵中有一个不等于的阶子式且所有阶子式如果存在的话全等于那么称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵的秩记作并规定零矩阵的秩等于7.矩阵的秩上页下页返回14);()(ARART,()().~ABRARB若则行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．,();1,();ArRArArRAr如果中有一个非零的阶子式则如果中所有阶子式都为零则8.矩阵秩的性质及定理,(1)||;(2)();(3);(4).~AnAARAnAEAE若为阶可逆矩阵则的最高阶非零子式为的标准形为单位矩阵上页下页返回150().mnnAxRAn元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩定理(,)()(,).mnnAxbABAbRARAb元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广...