傅立叶级数表达形式与性质概述VIP免费

1/6傅立叶级数表达形式与性质程栋材周期函数是定义在(∞,∞)区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的函数,一般表示为:,2,1,0)()(mmTtftf（3-12）式中，T为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为Tf1或角频率fT22对于非正弦周期函数，根据定理，可以用在区间),(00Ttt内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。一.三角函数表示式由上节讨论可知，三角函数集),2,1,0,}(sin,{cosmntmtn在区间),(00Ttt内为完备正交函数集。根据定理，对于周期为T的一类函数中任一个函数)(tf都可以精确地表示为}sin,{costmtn的线性组合，即对于)()(nTtftf有)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn(3-13)由式()，得2/614)-(32)(2sin)(2cos)(22/2/02/2/2/2/TdttfTatdtntfTbtdtntfTaTTTTnTTn式()称为周期信号)(tf的三角型傅里叶级数展开式。若将式()中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即10)cos()(nnntnAAtf(3-15)比较式()和式()，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系：2sincosarctan0022aAAbAaabbaAnnnnnnnnnnnn（3-16）式()称为周期信号)(tf的余弦型傅里叶级数展开式。式()和式()表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式()中，2/0a是直流成分；tacos1,tbsin1称为基波分量，T2为基波频率；tnancos,tnbnsin称次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号)(tf的波形。从式()和式()可知，各分量的振幅na,nb,nA和相位n都是n的函数，并有：nA,na是n的偶函数，即nnnnAAaa；3/6n，nb是n的奇函数，即nnnnbb二、指数形式因为复指数函数集),2,1,0}({netjn在区间),(00Ttt内也是一个完备的正交函数集，其中2T，因此，根据定理，对于任意周期为T的信号)(tf，可在区间),(00Ttt内表示为}{tjne的线性组合。即ntjnneFtf)((3-17)式中nF由式()可求得为2/2/)(1TTtjnnetfTF(3-18)式()称为周期信号)(tf的指数型傅里叶级数展开式。由于nF通常为复数，所以式()又称为复系数傅里叶级数展开式。同一个周期信号)(tf，既可以展开成式()所示的三角型傅里叶级数式，也可以展成式()所示的指数型傅里叶级数式，所以二者之间必有确定的关系。因为2costjntjneetnjeetntjntjn2sin代入式()，得)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn4/6ntjnnnntjntjnntjntjnneFeejbeeaa110)(2)(22所以0002AaF,2,12)(21,2,12)(21neAjbaneAjbaFnnjnnnjnnnn(3-19)三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系要把已知周期信号)(tf展开为傅里叶级数，如果)(tf为实函数，且它的波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也变得比较简单。周期信号的对称关系主要有两种：一种是整个周期相对于纵坐标轴的对称关系，这取决于周期信号是偶函数还是奇函数，也就是展开式中是否含有正弦项或余弦项；另一种是整个周期前后的对称关系，这将决定傅里叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数的关系。偶函数若周期信号)(tf波形相对于纵轴是对称的，即满足)()(tftf(3-20)则)(tf是偶函数，其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即),2,1,0(cos)(402/0ntdtntfTabTnn奇函数若周期信号)(tf波形相对于纵坐标是反对称的，即满足