指数函数与对数函数作者：李水艳来源：《数学金刊•高考版》2015年第09期指数函数与对数函数是高中数学中最重要的两个基本初等函数，也是历年高考考查函数“两域三性”的重要载体.有关指数函数、对数函数的试题每年必考，大都以指、对数函数的性质和图象为依托，结合推理、运算来解决，往往与其他函数进行复合；另外底数多含参数，考查分类讨论思想.重点难点重点：指数函数与对数函数的定义、性质和图象.主要体现在利用它们的定义、图象和性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质以及通过它们的图象变换作出其他函数的图象.难点：指数函数、对数函数的性质的综合应用.主要体现在利用指数函数、对数函数的性质解决相关函数的其他问题和解决以指数函数、对数函数为背景的代数推理题.方法突破1.熟练掌握指数、对数运算法则和指数、对数函数的性质(1)指数运算：①ar・as=a；©(ar)s=ars；3(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r,s^Q).(2)对数恒等式：①a=N(a>0,且a^l,N>0):②logaab=b(a>0,且a^l,b£R).(3)对数运算法则(a>0,且a^l,M>0,N>0):①log(M・N)=logaM+logaN；②log=logaM-logaN；③logaMn=nlogaM.(4)换底公式：logbN=(a>0,且a^l,b>0,且b^l,N>0).推论：①logab・logba=1；②logab・logbc=logac；③logbn=logab:④logbn=logab.(5)指数函数y=ax(a>0,且a^l)的性质：①当01时，y=ax在其定义域内是增函数；y=ax(a>0,且a^l)的图象恒过定点(0,1).②当00,则axW(0,1)；若x1时，若x>0,则axW(1,+w)；若x(6)对数函数y=logax(a>0,且a^l)的性质：①定义域为(0,+<»)，值域为R.②恒过定点（1,0）.③当a>1时，y=logax在（0,+«）上为增函数；当0④当a>1,x>1时，logax>0；当a>1,00；当01时，logax2.比较大小（1）分清是底数相同还是指数（真数）相同.（2）利用指、对数函数的单调性或图象比较大小.（3）当底数、指数（真数）均不相同时,可通过中间量过渡处理.3.单调性与值域（1）研究指数、对数函数的值域、单调区间应该先求定义域,特别是与对数函数有关的问题,首先保证真数大于零.（2）在研究以“ax”或“logax”为变元的函数值域问题时，可以将“ax”或“logax”看做一个整体,采用“整体代换”的思想求解.（3）在研究形如“y=af（x）”或““y=logaf（x）”的复合函数的单调性与值域问题时，先求内层函数“u=f（x）”的单调区间与值域，再求外层函数,，y=au”或“y=logau”的单调性与值域，要特别注意定义域.（4）注意底数a的取值范围和分类讨论.4.图象与方程有关指、对数函数的图象问题或方程根的问题，往往利用图象解决.作图时，指数函数与对数函数的图象上的一些关键点、线的位置要牢记在心.典例精讲例1（1）已知a=5,b=5,c=，贝9（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b（2）已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是（）A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c思索(1)比较三个式子的大小，通常先比较其中两个式子的大小，而且优先选择两个底数相同的式子，然后借用指数函数的单调性进行比较；接下来把这两个式子与第三个式子进行比较，直接比可能行不通，可借助中间量来搭桥，根据题目特征，选用中间量“1”，问题即可快速获解.(2)熟练掌握指数式与对数式的转化：ab=N(a>0,a^l)?圳b=logaN，及对数的运算法则和换底公式：logab=.破解(1)因为c=5=5,Iog23.4>log>l>log43.6>0,且指数函数y=5x是R上的增函数，所以a>c>b，故应选C.(2)由logb=a得b=5a，又lgb=c，则lg5a=c？圯alg5=c？圯lg5=，5d=10?圯d=log510=，所以d=，所以a=cd.故选B.例2函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间是()A.(0，+w)B.(-8,0)C.(2，+8)D.(-8，-2)思索求函数的单调区间首先要得到其定义域，单调区间是定义域的子区间，求复合函数的定义域要利用“同增异减”法则.破解函数f(x)=log(x2-4)的定义域为(-8,-2)U(2，+8)，函数log(x2-4)由函数y=logt与t=x2-4复合而成，y=logt在(0,+8)上单调递减，t=x2-4在(2,+8)上单调递增，在(-8,-2)上单调递减，所以f(x)=log(x2-4)在(-8,-2)上单调递增.故选D.例3(1)已知a>0,b>0,且ab=1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是()ABCD(2)已知f(x)=ex-1,x<0,f(x-1)+1,x>0，则方程f(x)-x=0在区间［0,5)上所有实根的...
