角的平分线的判定§11.2清丰县实验中学李臻芳数学2013.4问题情境•为了促进当地旅游发展,•某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,•要使这个度假村到三条公路的距离相等,•工人师傅应在何处修建?abc如图,用数学语言表示角平分线的性质定理∵OP平分∠AOB,PMOA,PNOB.⊥⊥∴PM=PN.ABPOMN角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。•如图,点P在的∠AOB内部,PMOA,PNOB,⊥⊥且PM=PN.•猜想点P是否在的平分线上.•分组讨论,并给出证明.•证明:∵PMOA,PNOB,⊥⊥∴∠PMO=PNO=90°.∠在RtPOM△与RtPON△中PM=PNOP=OP∴RtPOM△与RtPON(HL)△∴∠POM=PON.∠即:点P在∠AOB的平分线上.探究（一）连结OP,并延长.ABPOMNPC角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵∵PDOA⊥PDOA⊥，，PEOB⊥PEOB⊥，，PDPD＝＝PEPE．．∴∴OPOP平分∠平分∠AOBAOB．．用数学语言表示为：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPDOA⊥于DPEOB⊥于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPDOA⊥于DPEOB⊥于E角的平分线的判定1、在△ABC，AB=AC，AD平分∠BAC，DEAB⊥，DFAC⊥，下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的距离相等，其中正确的结论有()课堂练习ABCEFD2、已知：如图,在△ABC中，BD＝CD,1=2.∠∠求证：AD平分∠BACDEFABC12探究（二）•活动一•剪一个三角形纸片,通过折叠找出每个角的平分线,观察这个三条角平分线,你发现了什么?与同伴交流.•活动二•画一个三角形,利用尺规作图,作出这个三角形的三个内角的平分线,你是否也发现了同样的结果?•归纳:•三角形三个内角的平分线交于一点,•并且这一点到三边的距离ABC相等.回放原题•为了促进当地旅游发展,•某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,•要使这个度假村到三条公路的距离相等,•工人师傅应在何处修建?abc例题•如图,ABC△的角平分线BM、CN相交于点P.•求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCNMPFED过点P作PDAB⊥于D,•证明:PEAB⊥于E,PFAB⊥于F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理:PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.巩固提高•1.如图,PAON⊥于点A,PBOM⊥于点B,且PA=PB,MON=50°,∠∠POC=30°.求∠PCA的大小.•2.如图,BE=CF,BFAC⊥于点F.CEAB⊥于点E.BF和CE交于点D.求证:AD平分∠BAC.ONMPABCABCEFD小结•今天你又学到了哪些新的知识?•有什么收获?角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等
