第三章《数系的扩充与复数的概念》教学设计（复习）考试大纲1、了解复数的基本概念；2、理解复数的几何意义，并且会灵活运用；3、掌握复数的四则运算，会复数的运算律和加减法的几何意义.典型例题精析专题一、复数的基本概念复数的分类和复数的实虚部的概念，要区分清楚，特别是虚数和纯虚数的区分，注意复数不能比较大小的，如果两个复数能够比较大小，那么这两个复数一定都是实数.灵活结合已有的知识灵活做出处理.注意格式和书写的规范.例1（1）设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是()A．－1B．1C.D．－（2）．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1B．±1C．－1D．－2（1）[解析]z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有，∴a＝－1.[答案]A（2）[解析]解法1：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.解法2：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0不满足，排除B，故选A.[答案]A例2设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)，试求a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，由(1)得x<0，y>0.由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.由复数相等得，解得－6≤a＜0.例3.已知，复数，当m为何值时；（1）；（2）零；（3）虚数；（4）纯虚数；（5）对应的点在直线x+y=0上.解：（1）当(m+3)(m-1)=0，即m=-3或m=1时，（2）当时，z对应的点在直线x+y=0上，解得1专题二、复数的四则运算及其灵活运用灵活运用复数的四则运算，掌握复数的加法和减法的几何意义，并且会灵活运用于解题.例4已知，其中是的共轭复数，求复数.解：由已知得设，代入上式得，解得故复数为例5(1)已知关于方程有实根，求实数的值；(2)已知f(z)=|1+|－，且f(－)=10+3i，求复数.解：（1）∵关于方程有实根，∴,即∴，解得：（2）设、,代入得：∴化简，整理得：∴复数z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆,∴，由解得：∴当时，．2专题三、综合运用例6等差数列的前项和为．(是虚数单位)（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．达标练习一、选择题1、＝（D）A．2ｉB．－1＋ｉC．1＋ｉD．12．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）.A．－2B．1C．2D．1或－233．若（i为虚数单位），则使的值可能是（）A．0B．C．D．4．若R，i是虚数单位，则的值为（）A.－1B.－3C.3D.15.复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知复数，则（）A．B．C．D．7．“”是“复数是纯虚数”的()A.必要不充分条件.充分不必要条件.充要条件.不充分不必要条件8.在复平面内,复数1+i与i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=（）A.B.C.D.二、填空题9．若复数是实数，则实数．10.在复平面内，复数对应的点位于第象限.11.在复平面内,复数1+i与i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=.12.设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于414.是虚数单位，．（用的形式表示，）15.已知复数，那么的最大值是.参考答案1．D2.A3.B4.A5.A6.C7.A8.B9．310．四解析：因所以对应的点在第四象限.11．12．解析：可设，由得13．14．答案：15．5
