24.1.2垂直于弦的直径教学目标：知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。教学重点：垂径定理及其应用。教学难点：垂径定理的证明。教学方法：探究发现法。教具准备：自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。教学设计：一、复习引入复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．BACDOM（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（3）是轴对称图形，其对称轴是CD．（4）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M求证：AM=BM，ACBC，ADBD.分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中OAOBOMOM∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称 ⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合．∴ACBC，ADBD三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CD⊥AB（2）ACBC，ADBD四、例题讲解1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=25cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．2.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB， AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM==15cm．同理可求ON==7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．BACOMCEDOFBACEDONM以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m OE⊥CD∴CF=CD=×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．练习有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．六、总结本节课应掌握：1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．七、反思本节课也存在着不足和需改进，甚至可以进一步完善之处：（1）对于新授课板书的设计上应精心布局，文字语言、符号语言、分析语言缺一不可，并且应该再配上基本图形以加深学生对定理的了解，除了突出要点，还需让学生感受到定理使用的规范性。这样不但能帮助学生了解和掌握教学的重点难点，掌握知识的发展脉络和逻辑体系，更能调动学生多感官参加学习活动，使学生清晰地意识到实际的教学过程,启发学生的思维随着教学的进程而顺利发展。（2）应适当地拔高学生对新课的理解体会。在新课引入部分证明直径平分弦这一结论时，不能只局限于学生得到添加半...
