第一节角的概念与任意角的三角函数1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、____和____．(2)从终边位置来看，可分为_______与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为____________________．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝__．负角零角象限角β＝2kπ＋α(k∈Z)半径长lr(3)角度与弧度的换算①1°＝_______rad；②1rad＝_______．(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝____，扇形的面积为S＝_____＝_____．π180(180π)°rα12lr12r2α3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝_，cosα＝x，tanα＝__．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在____上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是(1，0)．yyxx轴原点1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件．2．终边在直线y＝x上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．1．(人教A版教材习题改编)已知锐角α终边上一点A的坐标是(2sinπ3，2cosπ3)，则α弧度数是()A．2B.π3C.π6D.2π3【解析】点A的坐标为(3，1)．∴sinα＝1（3）2＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C【答案】D2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx【解析】函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinα＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tanα＞0，∴α在第三象限．【答案】C【答案】－84．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________．【解析】由三角函数的定义，sinθ＝y16＋y2，又sinθ＝－255＜0，∴y＜0且y16＋y2＝－255，解之得y＝－8.【思路点拨】角的终边是射线，应分两种情况求解．写出终边在直线y＝3x上的角的集合．【尝试解答】当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 θ＝π3＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝π9＋23kπ(k∈Z)，当k＝0，1，2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】π9，7π9，13π9已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路点拨】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【尝试解答】(1)l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad.(3)设弓形面积为S弓，由题知l＝2π3cm，S弓＝S扇－S△＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2)．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB为等边三角形．因此弦AB所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l＝α·R＝π3×10＝103π，S扇...
