3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义VIP免费

前面我们学习了复数的概念及其几何意义：x实轴y虚轴Oz:a+birr=|z|=|z|1.复数z=a+bi，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模：)0(||22rbarbiaz3.相等的向量表示同一个复数。下面我们就来进一步讨论复数的运算性质规定1：复数的加法规则：z1=a+bi,z2=c+di是任意的两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数复数的加法满足交换律和结合律吗？1.加法的代数运算：设，z1,z2,z3R∈，有：z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(交换律)(结合律)2加法的几何意义：z1=a+bi,z2=c+dixyoz1=a+biz2=c+diz=(a+c)+(b+d)i3.减法的运算：如何理解复数的减法？1.代数式：z=a+bi,z1=c+di,且z1+z2=z,则z2=x+yi,z1+z2=z(c+x)+(d+y)i=a+bix=a-cy=b-d2.几何意义：xyoz2=(a-c)+(b-d)iz1=c+diz=a+bi例1.计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解原式＝(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i规定2:复数的乘法法则：因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，它和多项式的运算规则一致复数的乘法是否满足交换律、结合律以及对加法的分配律？复数的乘法法则：设，是任意两个复数，那么它们的积biaz1dicz2ibcadbdacbdiadibciadicbia)()())((2我们比较容易证明这些性质：1.交换律：z1·z2=z2·z12.结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)3.结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例2计算．)2)(43)(21(iii解：iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21(例3求．))((biabia解：2222222)())((baibabiabiabia两个共轭复数共轭复数的积是一个实数，这个实数等于每个复数的模的平方，即22||||zzzzzz,两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．复数z的共轭复数记作z若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi．共轭复数所对应的点关于实轴对称．容易证明有以下特点：nnzzzzzz21211.2.3.4.2121zzzznnzzzzzz21212121zzzz(z2≠0)例4设，求证：（1）；（2）i2321012.13证明：（1）22)2321()2321(11ii;04323412321ii22)23(23212)21(2321iii33)2321(i)2321()2321(2ii)2321)(2321(ii22)23()21(i14341(2)复数的乘方：对任何及，有Czzz21,,Nnm,nmnmzzzmnnmzz)(nnnzzzz2121)(12iiiii23134iiiiiii1特殊的有：一般地，如果，有Nniiiiiinnnn3424144,1,,1实数的除法是其乘法的逆运算，而向量是没有除法运算的，那么复数的除法运算情况怎样的呢？复数的除法法则为：)0())(())(()()(2222dicidcadbcdcbdacdicdicdicbiadicbiadicbia共轭复数有理化例4计算（1）（2）分析：可按复数乘、除法运算法则进行计算解：（1）（2）例5计算分析：复数的运算顺序也与实数的运算顺序一样，是先进行高级运算（乘方、开方），再进行次级运算（乘、除），最后进行低级运算（加、减）。如的幂运算，先利用的害虫的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算。解：原式例6计算。解法1：原式解法2：原式小结：一定要熟记，，，等练习1计算分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷少出错的效果。比如，，，，，等等。解：原式]练习2当时，的值等于（）A．1B．－1C．D．（1993年全国高考试题）分析：将已知式两端平方有。将代入被求式求。解：∴，∴∴应选D。注意：在熟悉的基础上，由变形为，即化简了已知条件，同时又便于代入被求式求值。练习3复数等于（）A．B．C．D．分析：可利用；与形式非常接近，可考虑，利用的性质去简化计算。解：1.复数加法的代数运算法则及其几何意义2.复数的乘法以及除法的代数运算3.共轭复数