【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习-第3章第7节-正弦定理和余弦定理课件-文-(广东专用)VIP免费

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝＝.12acsinB12bcsinA1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？【提示】在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔a2R＞b2R⇔sinA＞sinB，∴A＞B是sinA＞sinB的充要条件，易知A＞B是cosA＜cosB的充要条件．2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？【提示】应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．【答案】A1．(教材改编题)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2【解析】在△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.63B.223C．－63D．－223【解析】由正弦定理，得sinB＝b·sinAa＝33. a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cosB＝1－sin2B＝63.【答案】A3．(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C．－1D．1【解析】 acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sinBsinB，即sinAcosA－sin2B＝0，∴sinAcosA－(1－cos2B)＝0，∴sinAcosA＋cos2B＝1.【答案】D4．(2011·课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BCsin120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】1534(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【思路点拨】(1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB，进而求出角B.【尝试解答】(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，因此ba＝2.(2)由c2＝b2＋3a2及余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋3a2c，(*)又由(1)知，b＝2a，∴b2＝2a2，因此c2＝(2＋3)a2，c＝2＋3a＝3＋12a.代入(*)式，得cosB＝22，又0＜B＜π，所以B＝π4.,如图3－7－1所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．图3－7－1【解】在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理，cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，因此∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝56.(2012·广州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正余弦定理，将条件统一为角的关系，然后求角，进而判定△ABC的形状．【尝试解答】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴bc＝－2bccosA，cosA＝－12.又0＜A＜π，∴A＝23π.(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∴sin2A＝(sinB＋sinC)2－sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，且sinA＝32，∴sinBsinC＝14，因此sinB＝sinC＝12.又B、C∈(0，π2)，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．,若将例题中的条件改为“△ABC中，b，c是角B、C的对边，且cos2A2＝b＋c2c”．试判定△ABC的形状．【解】法一 cos2A2＝1＋cosA2且cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，即cosA＝bc.由正弦定理，得cosA＝sinBsinC，∴cosAsinC＝sin(A＋C)，整理得sinAcosC＝0. sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝π2.故△ABC为直角三角形．法二同法一得cosA＝bc.由余弦定理得b2＋c2－a22bc＝bc，整理得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．,(2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面...