【优化课堂】2012高中数学-第三章-3.4-3.4.2-基本不等式(二)课件-新人教A版必修5VIP专享VIP免费

3.4.2基本不等式(二)1．进一步理解并掌握基本不等式≤a＋b2及其变形公式．2．掌握用基本不等式解决一些简单的最值问题．aba＋b1．基本不等式≤2，成立满足的条件是_____________．当且仅当________时，等号成立．a，b都是正数a＝b练习1：已知x>0，若x＋81x的值最小，则x为()BA．81B．9C．3D．16ab2．当a，b均为正数时，a＝b(1)a＋b≥________，当且仅当_______时，等号成立．(2)ab≤________，当且仅当______时，等号成立．练习2：若a＞b＞0，则下面不等式正确的是()C练习3：若x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________．2aba＝ba＋b22A.2aba＋b－1，求函数y＝2题型1利用基本不等式求最值x＋5x＋2x＋1的最小值为例1：(1)已知x>－1，求函数y＝________；x＋1x＋5x＋6(x>－1)的最大值为________．＋5解析：(1)y＝x＋5x＋2x＋1＝x＋1＋4x＋1＋1x＋1＝(x＋1)＋4x＋1因为x>－1，所以x＋1>0.所以(x＋1)＋4x＋1＋5≥＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，ymin＝9.2x＋1·4x＋1(2)y＝x＋1x2＋5x＋6＝x＋1x＋12＋3x＋1＋2＝1x＋1＋2x＋1＋3，因为x>－1，所以x＋1>0，所以(x＋1)＋2x＋1≥22，(x＋1)＋2x＋1＋3≥3＋22，0<1x＋1＋2x＋1＋3≤3－22.所以当x＋1＝2x＋1，即x＝－1＋2时，ymax＝3－22.答案：(1)9(2)3－22【变式与拓展】1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1B题型2利用基本不等式整体换元例2：若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab及a＋b的取值范围．思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0.即(ab－3)(ab＋1)≥0.∵ab≥0，∴ab＋1≥1.故ab－3≥0，∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号．又∵ab≤a＋b2，∴ab＝a＋b＋3≤a＋b22.当且仅当a＝b＝3时取等号．即(a＋b)2－4a＋b－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6.∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)．方法二：由ab＝a＋b＋3，则b＝a＋3a－1.ab＝a＋4aa－1＝a＋4＋4a－1＝a－1＋4a－1＋5≥2a－1·4a－1＋5＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．由ab＝a＋b＋3，得b＝a＋3a－1，a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥2a－1·4a－1＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取等号．∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)．整体思想是分析这类题目的突破口，即a＋b与ab分别是统一的整体，把a＋b转换成ab或把ab转换成a＋b.【变式与拓展】2．(2010年浙江)若正实数x，y，满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．18例3：已知正数a，b满足a＋2b＝1，则1a＋1b的最小值是____．试解：1a＋1b＝a＋2ba＋a＋2bb＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22.是“当且仅当时”；这显然不可能同时成立，因此等号取易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立．在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当a＝2b时”；而第二次等号成立的条件不到．1a＝1b利用基本不等式求最值及取值范围：(1)应用基本不等式时，应注意三个条件：“一正、二定、三相等”．(2)常用方法：拼凑系数法、整体代换法、换元法、配方法等．