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1.2.1充要条件-(3)VIP免费

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[核心必知]1.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P9~P11的内容,回答下列问题.(1)判断教材P9上方的两个命题的真假,并思考:①当x>a2+b2成立时,一定有x>2ab成立吗?提示:.②当ab=0成立时,一定有a=0成立吗?提示:.(2)阅读教材P11“思考”的内容,并思考:①若p成立,一定有q成立吗?提示:.②若q成立,一定有p成立吗?提示:.一定有x>2ab成立不一定,也可能b=0一定有q成立一定有p成立p⇒q充分充分必要(2)充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作.此时,我们说p是q的充分必要条件,简称.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果,那么p与q互为充要条件.p⇔q充要条件p⇔q[问题思考](1)x>3是x>5的充分条件吗?提示:.(2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的吗?提:.(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B的关系怎样?提示:.不是.因为x>3x>5,但x>5⇒x>3,因此x>3是x>5的必要条件不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件A=B充分、必要条件的判断[思考]充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p,则q”、“若q,则p”的真假性有什么关系?名师指津:当命题“若p,则q”为真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件;当命题“若q,则p”为真命题时,q是p的充分条件,p是q的必要条件;当上述两个命题都是真命题时,p是q的充要条件.讲一讲1.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;(4)p:aB,则BC>AC;反之,若BC>AC,则A>B.因此,p是q的充要条件.(2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不一定有x>1.因此,p是q的充分不必要条件.(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.(4)由于a1;当b>0时,ab<1,故若a0,b>0,ab<1时,可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件.充分、必要条件的判断方法判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用.练一练1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解:(1) 四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p是q的既不充分也不必要条件.(2) (x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分不必要条件.[思考]如何证明“p是q的充要条件”?名师指津:.证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p,则q”和“若q,则p”都是真命题讲一讲2.证明:a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0垂直的充要条件.[尝试解答](1)(充分性)当b=0时,如果a+2b=0,那么a=0,此时直线ax+2y+3=0平行于x轴,直线x+by+2=0平行于y轴,它们互相垂直.当b≠0时,直线ax+2y+3=0的斜率k1=-a2,直线x+by+2=0的斜率k2=-1b,若a+2b=0,则k1·k2=-a2·-1b=-1,两直线垂直.(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在,则k1·k2=-a2·-1b=-1,所以a+2b=0.若两直线中直线的斜率不存在,且互相垂直,则b=0,且a=0,所以a+2b=0.综上,“a+2b=0”是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”的充要条件.一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.练一练2.求证:关于x的...

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