函数的单调性与最大(小)值要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2基础知识自主学习定义当x1f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析 y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.xy2Bxy2x2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析 f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x10；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.;0)()(2121xxxfxf.0)()(2121xxxfxf①③题型一函数单调性的判断【例1】已知函数证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.（1）用函数单调性的定义.（2）用导数法.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,).1(12)(axxaxfx,01112xxxaa且思维启迪题型分类深度剖析又 x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.,0)1(12112xxxxxaaaa,0)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121212122121121122xxxxxxxxxxxxxx,01212112212xxxxaaxx方法二求导数得 a>1,∴当x>-1时，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.,)1(3ln)('2xaaxfx),1(131)(axaxfx,0)1(32x探究提高知能迁移1试讨论函数x∈(-1,1)的单调性（其中a≠0）.解方法一根据单调性的定义求解.设-10,即-10.,1)(2xaxxf.)1)(1()1)((11)()(2221211222221121xxxxxxaxaxxaxxfxf则,1||,01,01212221xxxx因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数；当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时， -10时，f（x)在（-1，1）上为减函数；a<0时，f(x)在（-1，1）上...
