3.4.1函数与方程-(3)VIP免费

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点上一页返回首页下一页1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1零点的概念阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为的称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的．0实数x实数根横坐标上一页返回首页下一页函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2(－1,0)，(－2,0)上一页返回首页下一页教材整理2零点存在性定理阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数y＝f(x)在区间．f(a)·f(b)<0(a，b)上有零点上一页返回首页下一页1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()上一页返回首页下一页【解析】(1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×上一页返回首页下一页2．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．【解析】由f(x)在区间(2,5)上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．【答案】1上一页返回首页下一页[小组合作型]求函数的零点求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．【精彩点拨】根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．上一页返回首页下一页【自主解答】(1) f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1,0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零点为x＝4.上一页返回首页下一页(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝12x－1(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2.∴f(x)有零点2.上一页返回首页下一页当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.上一页返回首页下一页函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．上一页返回首页下一页[再练一题]1．若函数f(x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________．【解析】由韦达定理得a＝1＋4＝5，b＝1×4＝4，∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，令g(x)＝0，则x＝14或1，即g(x)的零点为14或1.【答案】14或1上一页返回首页下一页XXX零点存在性定理及其应用在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)①－14，0；②0，14；③14，12；④12，34.【精彩点拨】利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．上一页返回首页下一页【自主解答】 ...