第八节直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0直线与圆锥曲线_______；②Δ＝0直线与圆锥曲线_______；③Δ＜0直线与圆锥曲线_______．相交相切相离(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_________；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________________．平行平行或重合2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_________________＝1＋1k2|y2－y1|.1＋k2|x2－x1|1．直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？【提示】必要不充分条件．直线与圆锥曲线相切时，二者只有一个公共点，但反过来不成立．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是多少？【提示】当弦垂直于x轴时，弦长最短为2p.【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】A1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定2．(2013·惠州模拟)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．【解析】直线l的方程为y＝3x＋1，由y＝3x＋1，x2＝4y得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.【答案】163．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【解析】因为y＝12x2，所以y′＝x，易知P(4，8)，Q(－2，2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.∴切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.【答案】－44．(2013·揭阳模拟)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．【解析】由题意A点的坐标(－a，0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为(－a2，a2)，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝63.【答案】63【思路点拨】(1)由c＝1，点P(0，1)在椭圆C1上，求关于a，b的方程；(2)利用待定系数法设l的方程，联立曲线方程，根据判别式Δ＝0求待定参数．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．【尝试解答】(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，又点P(0，1)在曲线C1上，∴0a2＋1b2＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2，或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·...
