【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习-第3章第6节-简单的三角恒等变换课件-文-(广东专用)VIP免费

第六节简单的三角恒等变换1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2sin2α2＝，cos2α2＝，tan2α2＝.2．用sinα，cosα表示tanα2tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα3．辅助角公式asinα＋bcosα＝(其中tanθ＝ba)．4．“1”的妙用sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1,1＝2cos2α－cos2α，sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.a2＋b2sin(α＋θ)你能写出tanα2＝sinα1＋cosα的推导过程吗？【提示】tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα2cosα22cos2α2＝sinα1＋cosα.【答案】B1．(教材改编题)下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°【解析】cos215°－sin215°＝cos30°＝32.2．(2012·西安质检)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(π4，π2)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】 f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．【答案】B3．(2011·湖北高考改编)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为________．【解析】f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)≥1，∴sin(x－π6)≥12，∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋56π(k∈Z)，∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)．【答案】2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)4．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________.【解析】tanβ＝1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)． α、β为锐角，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1.【答案】1化简：(1tanα2－tanα2)·1－cos2αsin2α.【思路点拨】切化弦→通分后利用倍角公式【尝试解答】原式＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·2sin2α2sinαcosα＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·sinαcosα＝2cosαsinα·sinαcosα＝2.,化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(π＜α＜2π)．【解】 π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cosα2＜0.∴原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα221＋cosα＝2cosα2sinα2＋cosα2sinα2－cosα22|cosα2|＝－(sinα2＋cosα2)(sinα2－cosα2)＝cos2α2－sin2α2＝cosα.(2012·清远模拟)已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cosπ4＋x·sinx的值．【思路点拨】(1)先求tanx2，进而求得tanx的值，(2)注意到“2x”与“π4＋x”间的联系和差异，借助倍角公式，统一角度．【尝试解答】(1)由sinx2－2cosx2＝0，得tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2) cos2x＝sin(2x＋π2)＝2sin(x＋π4)cos(x＋π4)，∴原式＝2sinx＋π4cosx＋π42cosπ4＋x·sinx＝sinx＋cosxsinx＝1＋1tanx＝1＋(－34)＝14.,已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．【解】cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)． 34π≤α＋π4<74π，cos(α＋π4)>0，∴32π<α＋π4<74π.故sin(α＋π4)＝－45.∴cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝725，∴cos(2α＋π4)＝－31502.(2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin(x＋7π4)＋cos(x－3π4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.【思路点拨】(1)先把已知角转化为x－π4，再化简．(2)利用两角和与差的余弦公式展开，再求cosαcosβ的值，进而代入可证．【尝试解答】(1) f(x)＝sin(x＋7π4－2π)＋sin(x－3π4＋π2)＝sin(x－π4)＋sin(x－π4)＝2sin(x－π4)．∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2) cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45，两式相加得2cosβcosα＝0. 0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f(x)＝2sin(x－π4)，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝4×(22)2－2＝0.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos...