第九节直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C_________；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C_________；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C_________．相交相切相离(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是__________；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________________．2．弦长问题设直线l：y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线C相交于A、B两点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝________________________；(2)|AB|＝1＋1k2|y1－y2|平行平行或重合1．若直线与圆锥曲线只有一个交点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？【提示】不一定相切．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的最短弦长是多少？【提示】当弦垂直于x轴时，弦长最短为2p.1．(教材改编题)直线x＝1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【解析】 椭圆x2＋y22＝1的短半轴b＝1，故直线x＝1与椭圆相切．【答案】B2．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围为________．【解析】双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈(－23，23)．【答案】(－23，23)3．已知抛物线C的方程为x2＝12y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________．【解析】由题意知t≠0，直线AB的方程为y＋1＝4tx，即y＝4tx－1，由y＝4tx－1，x2＝12y，得2tx2－4x＋t＝0， 直线AB和抛物线C没有公共点，∴Δ＝16－8t2＜0，∴t＞2或t＜－2.【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．(2012·韶关质检)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．【解析】直线l的方程为y＝3x＋1，由y＝3x＋1x2＝4y得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.【答案】16已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【思路点拨】写出直线l的方程，和抛物线方程联立，消去y得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，再讨论此方程解的个数．直线与圆锥曲线的位置关系【尝试解答】直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，由y＝kx＋2k＋1，y2＝4x，消去y得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋(2k＋1)2＝0，(*)①当k＝0时，方程(*)为－4x＋1＝0，即x＝14，∴直线l和抛物线只有一个交点．②当k≠0时，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(2k＋1)2＝－32k2－16k＋16，由Δ＝0，即－32k2－16k＋16＝0，得2k2＋k－1＝0.解得k＝－1或k＝12，∴当k＝－1或k＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k＜12且k≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k＜－1或k＞12时，方程(*)没有实根．综上知，当k＝0或k＝－1，或k＝12时，直线与抛物线只有一个公共点；当－1＜k＜12且k≠0时，直线与抛物线有两个公共点；当k＜－1或k＞12时，直线与抛物线没有公共点．1．直线与圆锥曲线的位置关系主要是指公共点问题，相交弦问题及其他综合问题，解决这类问题的常用方法是转化为研究它们所对应的方程组解的个数问题，体现了方程的思想．2．判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用：(1)可以限定所给参数的范围；(2)可以取舍某些解以免产生增根．3．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．【解】由y＝2x＋mx24＋y22＝1得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，(*)Δ＝64m2－4...
