第六节简单的三角恒等变换1.用cosα表示sin2α2,cos2α2,tan2α2sin2α2=___________,cos2α2=___________,tan2α2=____________.2.用sinα,cosα表示tanα2tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.1-cosα21+cosα21-cosα1+cosα3.辅助角公式asinα+bcosα=_________________(其中tanφ=ba).4.“1”的妙用sin2α+cos2α=1,cos2α+2sin2α=1,1=2cos2α-cos2α,sinπ2=cos0=tanπ4=1.a2+b2sin(α+φ)1.怎样确定sinα2=±1-cosα2,cosα2=±1+cosα2的符号?【提示】各函数值的符号取决于α2所在象限.2.你能写出tanα2=sinα1+cosα的推导过程吗?【提示】tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22cos2α2=sinα1+cosα.【答案】C1.(人教A版教材习题改编)化简2+cos2-sin21的结果是()A.-cos1B.cos1C.3cos1D.-3cos1【解析】2+cos2-sin21=3cos21=3cos1.【解析】 f(x)=2sinxcosx=sin2x,∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称.【答案】B2.对于函数f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是()A.f(x)在(π4,π2)上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为2【答案】D3.(2012·山东高考)若θ∈[π4,π2],sin2θ=378,则sinθ=()A.35B.45C.74D.34【解析】 θ∈[π4,π2],∴2θ∈[π2,π].∴cos2θ=-1-sin22θ=-18,∴sinθ=1-cos2θ2=34.4.(2013·阳江质检)函数f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.【解析】 f(x)=sin2(2x-π4)=12[1-cos(4x-π2)]=12-12sin4x,∴最小正周期T=2π4=π2.【答案】π2化简:(1tanα2-tanα2)·1-cos2αsin2α.【思路点拨】切化弦→通分后利用倍角公式【尝试解答】原式=(cosα2sinα2-sinα2cosα2)·2sin2α2sinαcosα=cos2α2-sin2α2sinα2·cosα2·sinαcosα=2cosαsinα·sinαcosα=2.化简(1+sinα+cosα)(sinα2-cosα2)2+2cosα(π<α<2π).【解】 π<α<2π,∴π2<α2<π,cosα2<0.∴原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)(sinα2-cosα2)2(1+cosα)=2cosα2(sinα2+cosα2)(sinα2-cosα2)2|cosα2|=-(sinα2+cosα2)(sinα2-cosα2)=cos2α2-sin2α2=cosα.(1)(2012·重庆高考)sin47°-sin17°cos30°cos17°=()A.-32B.-12C.12D.32(2)(2013·惠州模拟)已知cos(π4-α)=1213,α∈(0,π4),则cos2αsin(π4+α)=________.【思路点拨】(1)利用sin47°=sin(17°+30°),展开求解;(2)根据π4-α,π4+α,2α之间的关系求解.【尝试解答】(1)sin47°-sin17°cos30°cos17°=sin(17°+30°)-sin17°cos30°cos17°=sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30°cos17°=cos17°sin30°cos17°=sin30°=12.(2) cos2α=sin(π2+2α)=2sin(α+π4)cos(α+π4),∴cos2αsin(π4+α)=2cos(α+π4)=2sin(π4-α),又0<α<π4且cos(π4-α)=1213,∴sin(π4-α)=1-cos2(π4-α)=1-(1213)2=513,∴原式=2sin(π4-α)=2×513=1013.【答案】(1)C(2)1013已知sinx2-2cosx2=0.(1)求tanx的值;(2)求cos2x2cos(π4+x)·sinx的值.【解】(1)由sinx2-2cosx2=0,得tanx2=2.∴tanx=2tanx21-tan2x2=2×21-22=-43.(2) cos2x=sin(2x+π2)=2sin(x+π4)cos(x+π4),∴原式=2sin(x+π4)cos(x+π4)2cos(π4+x)·sinx=sinx+cosxsinx=1+1tanx=1+(-34)=14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=22cos(2x+π4)+sin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x+π2)=g(x),且当x∈[0,π2]时,g(x)=12-f(x),求g(x)在区间[-π,0]上的解析式.【思路点拨】(1)把f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解;(2)利用g(x)的周期为π2,分x∈[-π2,0]和x∈[-π,-π2)两种情况.【尝试解答】(1)f(x)=22cos(2x+π4)+sin2x=22(cos2xcosπ4-sin2xsinπ4)+1-cos2x2=12-12sin2x.故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈[0,π2]时,g(x)=12-f(x)=12sin2x,①当x∈[...