第六节简单的三角恒等变换1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2sin2α2＝___________，cos2α2＝___________，tan2α2＝____________．2．用sinα，cosα表示tanα2tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα3．辅助角公式asinα＋bcosα＝_________________(其中tanφ＝ba)．4．“1”的妙用sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1，1＝2cos2α－cos2α，sinπ2＝cos0＝tanπ4＝1.a2＋b2sin(α＋φ)1．怎样确定sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2的符号？【提示】各函数值的符号取决于α2所在象限．2．你能写出tanα2＝sinα1＋cosα的推导过程吗？【提示】tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα2cosα22cos2α2＝sinα1＋cosα.【答案】C1．(人教A版教材习题改编)化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1【解析】2＋cos2－sin21＝3cos21＝3cos1.【解析】 f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．【答案】B2．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(π4，π2)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【答案】D3．(2012·山东高考)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34【解析】 θ∈[π4，π2]，∴2θ∈[π2，π]．∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－18，∴sinθ＝1－cos2θ2＝34.4．(2013·阳江质检)函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．【解析】 f(x)＝sin2(2x－π4)＝12[1－cos(4x－π2)]＝12－12sin4x，∴最小正周期T＝2π4＝π2.【答案】π2化简：(1tanα2－tanα2)·1－cos2αsin2α.【思路点拨】切化弦→通分后利用倍角公式【尝试解答】原式＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·2sin2α2sinαcosα＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·sinαcosα＝2cosαsinα·sinαcosα＝2.化简（1＋sinα＋cosα）（sinα2－cosα2）2＋2cosα(π＜α＜2π)．【解】 π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cosα2＜0.∴原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）（sinα2－cosα2）2（1＋cosα）＝2cosα2（sinα2＋cosα2）（sinα2－cosα2）2|cosα2|＝－(sinα2＋cosα2)(sinα2－cosα2)＝cos2α2－sin2α2＝cosα.(1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32(2)(2013·惠州模拟)已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin（π4＋α）＝________．【思路点拨】(1)利用sin47°＝sin(17°＋30°)，展开求解；(2)根据π4－α，π4＋α，2α之间的关系求解．【尝试解答】(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.(2) cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)，∴cos2αsin（π4＋α）＝2cos(α＋π4)＝2sin(π4－α)，又0＜α＜π4且cos(π4－α)＝1213，∴sin(π4－α)＝1－cos2（π4－α）＝1－（1213）2＝513，∴原式＝2sin(π4－α)＝2×513＝1013.【答案】(1)C(2)1013已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cos（π4＋x）·sinx的值．【解】(1)由sinx2－2cosx2＝0，得tanx2＝2.∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2) cos2x＝sin(2x＋π2)＝2sin(x＋π4)cos(x＋π4)，∴原式＝2sin（x＋π4）cos（x＋π4）2cos（π4＋x）·sinx＝sinx＋cosxsinx＝1＋1tanx＝1＋(－34)＝14.(2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈[0，π2]时，g(x)＝12－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．【思路点拨】(1)把f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式求解；(2)利用g(x)的周期为π2，分x∈[－π2，0]和x∈[－π，－π2)两种情况．【尝试解答】(1)f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x＝22(cos2xcosπ4－sin2xsinπ4)＋1－cos2x2＝12－12sin2x.故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈[0，π2]时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x，①当x∈[...
