实用标准文案精彩文档高考圆锥曲线定点定值技巧一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法1．“特殊”探求例1．已知直线过点)0)(0(mmM，且与抛物线)0(22ppxy交于)(11yxA，、)(22yxB，两点，求证：1x·2x，1y·2y均为定值，并求这个定值．解：①特殊位置的探讨：如图1，当过点)0)(0(mmM，的直线与x垂直时，1x·2x＝2m，1y·2y＝pm2；②一般性的证明：如图2，当过点)0)(0(mmM，的直线与x垂直时，设过点)0)(0(mmM，的直线方程为：mtyx【“基本特征式”的运算】．由pxymtyx220222pmptyy1y·2y＝pm21x·2x＝2m．小结：①定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况；②“特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥→正四面体)、初始值(如数列问题，首先用1a、2a、3a求出满足条件的参数，再证明一般的情况)；③华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状态，退到最简单的位置”，即“特殊”探路；④直线与x轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数．有了“特殊”探路的解题意识，相反能提高警惕，提高得分能力；⑤相关结论：当直线过焦点时，1x·2x＝42p，1y·2y＝2p；当直线过点实用标准文案精彩文档)02(，p时，1x·2x＝42p，1y·2y＝2p；例2．（09、辽宁）已知椭圆C：22143xy．FE、是椭圆C上的两个动点，点)231(，A是椭圆上的一个定点．如果直线AFAE、的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：①“特殊”探讨：取点)02(，F(即右顶点)2323AEAFkk直线AE的方程：xy23．由12432322yxxy231yxFEEFFEyykxx)1(2)23(021．②一般性的证明：设过点)231(，A的直线方程为：23)1(xmy由124323)1(22yxxmy22233+4+4(32)4()1202mxmmxm（）．设方程的两根为1x、Ax，则1x·Ax＝1x1x＝2234()12234mm．分别用“k”“k”替换“m”2234()12234Ekxk＝34312422kkk，32EEykxk＝34296622kkk，Fx＝34312422kkk，Fy＝34296622kkk．所以直线EF的斜率FEEFFEyykxx=21)3124()3124()2966()2966(2222kkkkkkkk．即直线EF的斜率为定值，其值为12．实用标准文案精彩文档小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序；②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担．2．“与参数k无关”例3．已知直线L与抛物线)0(22ppxy交于)(11yxA，、)(22yxB，两点，且1x·2x＝42p．求证：直线L经过定点，并求出这个定点的坐标．解：①直线xL轴，设其方程为mx)0(m)0()0(，，，mBmA1x·2x＝2m．又1x·2x＝42p2m＝42p由0m2pm直线L过定点)02(，p．②当直线L不垂直于x轴时，设其方程为mkxy，由pxymkxy220)22(222mxpkmxk2221kmxx，又1x·2x＝42p42p＝22km2422kpmmkm直线L：mkxy)2(pxky．当2px时，0y，“与参数k无关”直线L过定点)02(，p，或定点)02(，p．小结：①“与参数k无关”，是初一年级关于方程“bax”解状讨论的直接应用：Rxba0；②“与参数k无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论．例4．例10．(07、湖南理21）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．【直接法求轨迹】（1）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．设()Mxy，．第一歩：“基本特征式”：设11()Axy，，22()Bxy，，直线AB：2tyx．实用标准文案精彩文档由2222yxtyx024)1(22tyyt14012212ttyyt14221txx⋯⋯⋯⋯(*1)；第二歩：“向量特征式”：1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1(20)FO，，122(2)FBxy，，由1111FMFAFBFO121226xxxyyyyyyxxx21214⋯⋯（*2）第三歩：代入(整体)：由（*1）与(*2))2(14)1(14422ttytx；第四歩：消参：（1）÷（2）4xyt，代入（1）：22(6)4xy．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．【(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由】解：假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CA·CB为常数．第一歩：先特殊探讨．当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标为(2...
