不定方程埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。英国科学史家法灵顿（B．Farrington1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋b＋c＝N3这里就要考虑到三次方程了。这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（DiophantineEquations）。这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。由于要求是平方数：16-x2＝y2因此，我们一个方程有两个未知数x，y。第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。”写成代数式子是求：x2＋y2=z3的解。丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。一次不定方程我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。这类方程一般是形如ax＋by=c，a、b、c都是整数。一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。例1求1027x＋712y＝1的整数解。我们这里a=1027，b＝712，c=11＝1×13-3×4=-3×69+16×13＝16×82-19×69=-19×315＋73×82＝73×712-165×315=-165×1027+238×712于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。例2求33x＋17y=13的整数解。先求33x＋17y=1的整数解所以1=17×1-16×1＝33×1-16×2故13=33×13-16×（2×13）即x0=13，y0=26是33x＋17y=13的特殊解。我们有下面的定理：[定理]丢番图方程ax＋by=c有解，当且仅当a、b的最大公约数d=（a，b）能整除c。而它的一般解是：x=x0+Bty=y0-At这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。因此方程33x＋17y=13的一般解是：x=13+17ty＝26-33t过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”请你算一算，丢番图到底活到多少岁？一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不...
