1/8数学分析习题选解第一章实数与函数§1.实数习题Page.41.设a为有理数，x为无理数，证明：(1).ax是无理数；(2)当0a时，ax是无理数.证明：（用反证法）3.设,abR，证明：若对任何正数有ab，则ab.证明：反证法，如果ab，则取02ab，有：ab，矛盾.6.设,,abcR（R表示全体正实数的集合），证明：2222abacbc你能说明此不等式的几何意义吗？证明：用分析法，要证：2222abacbc222222222222abacabacbcbc22222aabacbc22222abcabac422242222aabcbcaacabbc222bccb20bc（显然成立）几何意义，如图，在RtABC中，记BCa，ACb，在直角边AC上，取一点D连接BD，记DCc，则ADbc，由勾股定理，22ABab，22BDac，此结论说明，三角形的两边之和大于第三边.7.设0x，0b，ab.证明：axbx介于1与ab之间.证明：1axabbxbx与ab同号（注意，0x，0b）；又xbaaxabxbbbx与ba同号，故axbx介于1与ab之间.8.设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则p是无理数.证明：（反证法）设p是有理数，记mpn，其中,nmN，(,)1nm，于是，22pnm.由于大于1的整数能唯一地分解为素因数之积，若p不是完全平方数，则pacbDCBA2/8的素因数分解式中，必有r是p的具有奇指数的素因数.则22pnm的左端有奇数个素因数r，而右端没有，与分解的唯一性矛盾，证毕补充题：证明任何二个不同的有理数之间必有无理数.证明：设12,rr为二个不同的有理数（不妨12rr），取21012rrrr为无理数，则2110122rrrrrr，即0r介于1r与2r之间.证毕§2.数集、确界原理习题Page.９－102.设S为非空数集，试对下列概念给出定义：(1).S无上界；(2).S无界.解：(1).如果bR，0xS，使0xb，则称S无上界；(2).如果0M，0xS，使0xM，则称S无界.3.试证明由(3)式所确定的数集S有上界，而无下界.证明：因为22,SyyxxR，yS，有：222yx，故S有上界2.而bR，取2023ybS，有：01ybb，故S无下界.证毕4.求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：⑴22Sxx；⑵!,SxxnnN；⑶(0,1)Sxx为内的无理数；⑷11,2nSxxnN.解：⑴因为，222,2Sxx，所以，sup2S，事实上，xS，有：2x，即2是上界；而0，取0min,122xS，有0min,1222x，即2不是上界，故sup2S.同理可证，inf2S.⑵因为，!,1!,2!,,!,SxxnnnN，所以，S无上界，supS.且S有最小数1，故inf1S.⑶因为，(0,1)Sxx为内的无理数，由无理数的性质与确界的定义，可断定，3/8inf0S，事实上，显然xS，有：0x，即0是下界；而由有理数的稠密性，0，在0与0min,1之间至少存在一个无理数0x，即000xSx，即0不是下界，故inf0S.同理可证，sup1S，⑷因为，11111,1,1,,12242nnSxxnN有最小数12，故1inf2S.又由确界的定义，sup1S，事实上，xS，有：1112nx，即1是上界；而0，取00112nxS，其中021logmax,2n，有001111111112max,2nx，即1不是上界，故sup1S.5.6.设S为非空数集，定义SxxS，证明：⑴infsupSS；证明：⑴supS，则①xS，有：x；②0，0xS，有：0x.③xS，有：x，④0，0xS，有：0x.综合③④，知：infS，即infsupSS.7.设A、B皆为非空有界数集，定义数集,,ABzzxyxAyB，证明：⑴sup()supsupABAB，⑵inf()infinfABAB.分析：只要证sup()supsupABAB，且sup()supsupABAB.证第一个不等式，即证，常数supsupAB是,ABxyxayB的上界；用确界定义的第二个条件，来证第二个不等式.证明：⑴因为，supxAxA，且supyByB，于是，zxyAB，其中xA，yB，有：supsupzxyAB；故常数supsupAB是AB的上界，必大于等于AB最小上界sup()AB.即sup()supsupABAB.4/8又因为，0，000zxyAB，使：0sup()zAB①其中0xA，0yB，而000supsupzxyAB②由①与②式，supsupsup()ABAB，所以，sup()supsupABAB.故，sup()supsupABAB.同理可证，⑵inf()infinfABAB.证毕(法2)证明：设1supA，2supB，则①xA，有：1x；yB，有：2y.②0，0xA，有：012x；0yB，有：022y；由①，知：zxyAB，其中xA，yB，有：12zxy，由②，知：0，取000zxyAB，有：00012zxy.故12是AB的最小上界，即12supAB，所以，sup()supsupABAB.证毕8.设0,1aa，x为有理数，证明：sup,,1inf,,1rxrarrxaaarrxa为有理数当为有理数当证明：当1a，rx，有：rxaa，即xa是,rarrx为有理数的上界；而0，9.§3.函数的概念习题Page.15－161.2.3.根据图1－2写出定义在[0,1]上的分段函数1()fx和...
