数学极限的求法VIP专享VIP免费

1数学极限的求法常见:夹逼准则,无穷小量的性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则,中值定理,定积分,泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe当上面每个函数中的自变量x换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13xe～x3；)1ln(2x～2x。例：求4303lim(sin)2xxxx解：sin22xx4303lim(sin)2xxxx＝4303lim()2xxxx＝4330lim8xxxx＝82：利用极限的四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)2211lim21xxxx(2)312lim3xxx(3)3113lim()11xxx(4)已知111,1223(1)nxnn求limnnx解：(1)2211lim21xxxx＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx=11lim21xxx＝23(2)（2）＝23(12)(12)lim(3)(12)xxxxx＝33lim(3)(12)xxxx＝14(3)3113lim()11xxx＝2312lim1xxxx＝21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx＝212lim1xxxx＝-1(4)因为111,1223(1)nxnn所以1limlim(1)1nnnxn3：利用两个重要极限公式求极限(1)0sin1limlimsin1xxxxxx(2)101lim(1)lim(1)xxxxxex例：求下列函数的极限[4](1)230limlimcoscoscoscos2222nnnxxxx(2)22lim(1)mmnm（3）)1,0(,)(lim10aaaxxxx解：(1)23coscoscoscos2222nxxxx＝231sincoscoscoscossin222222sin2nnnxxxxxxx＝1sin2sin2nnxx3＝1limsin2sin2nnnxxsin=lim2sin2nnnxx＝sinxx230limlimcoscoscoscos2222nxnxxxx＝0limxsinxx＝1(2)22lim(1)mmnm＝22222()2lim(1)mnmnmmnm＝2222()2lim(1)mnmnmnm＝0e＝1（3）xxxxaa10)1(limxxaxaxxxaa10)1(limxxxaxaxxxaa0lim10])1(lim[aeea1.4.利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数N,当n>N时，有nxnynz且limlim,nnxxxza则有limnxya.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例1.222111.......12nxnnnn,求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项则221nnnxnnn又因为22limlim11xxnnnnn（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：[1]证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这4个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得1nnayy因为1,nyya则naay,从而11naay即ny是有界的。根据定理ny有极限，而且极限唯一。令limnnyl则21limlim()nnnnyya则2lla.因为0,ny解方程得1412al所以141lim2nnayl5：洛必达法则求极限：洛必达法则只能对00或型才可直接使用，其他待定型如00,1,0,,0必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则//()lim()fxgx=()lim()fxgx=A.0可以通过011000或，通分化为0000101，后面两个幂的形式通过取对数来变化。例[1]：(1)求0lnsinlimlnsinxmxnx(2)求0limxxx解：(1)由00limlnsinlimlnsinxxmxnx5所以上述极限是待定型，则0lnsinlimlnsinxmxnx＝0cossinlimcossinxmmxnxnnxmx＝0sinlimsinxmnxnmx＝1(2)0limxxx它为00型由对数恒等式可得lnxxxxe0limxxx=0limlnxxxe0limxxx＝01e如果//()lim()fxgx不存在时，并不能断定()lim()fxgx也不存在，只是这时不能用洛必达法则。例xxxxxcos3sin2lim解：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：xxxsin3cos21lim，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=xxxxxcos3sin21lim（分子、分母同时除以x）=316：利用单侧极限相等求极限用于求分段函数在分段点处的极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例：x>0x021sin,()1,xfxxx求f(x)在x=0的左右极限解：01limsinxxx＝101limsinxxx＝17：利用函数的连续性求极限6用于直接将值带入函数或求复合函数的极限。如果u=g(x)在点0x连续g(0x)=0u,而y=f(u)在点0x连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x连续。即000lim(())(())(lim())xxxx...