简单的三角恒等变换 (2)VIP专享VIP免费

3．4简单的三角恒等变换考点梳理1.降幂公式sin2α2＝__________(用cosα表示)cos2α2＝__________(用cosα表示)tan2α2＝__________(用cosα表示)1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα2．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα其符号由α2所在的象限决定．3．积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]4．和差化积公式sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2sinθ－sinφ＝2cosθ＋φ2sinθ－φ2cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2cosθ－φ2cosθ－cosφ＝－2sinθ＋φ2sinθ－φ2考点自测1.2－sin22＋cos4等于()A．sin2B．－cos2C.3cos2D．－3cos2解析：2－sin22＋cos4＝2－sin22＋2cos22－1＝3cos22＝－3cos2.答案：D2．若sinα＝cosβ，－π2＜α＜π2，0＜β＜π，则α＋β的值为()A.3π2B．πC.π2D．0解析：由sinα＝cosβ，∴sinα＝sinπ2－β. －π2＜α＜π2，0＜β＜π，∴－π2＜π2－β＜π2，∴α＝π2－β，∴α＋β＝π2.答案：C3．设p＝cosαcosβ，q＝cos2α＋β2，那么p，q的大小关系是()A．p＜qB．p＞qC．p≤qD．p≥q解析：p－q＝cosαcosβ－cos2α＋β2＝cosαcosβ－12[1＋cos(α＋β)]＝12(cosαcosβ＋sinαsinβ－1)＝12[cos(α－β)－1]≤0，∴p≤q.∴选C.答案：C4．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________.解析：原式＝2sin50°×12＋3sin10°2cos10°＝2sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝1.答案：15．设0≤x＜2π，且1－sin2x＝sinx－cosx，则x的取值范围是__________．解析：1－sin2x＝sinx－cosx2＝|sinx－cosx|.由题设，得|sinx－cosx|＝sinx－cosx.∴sinx－cosx≥0，∴sinx≥cosx. 0≤x＜2π，∴π4≤x≤5π4.答案：π4，5π4疑点清源1.三角恒等变换的两个原则(1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．(2)清除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．注意：要正确把握公式的结构，明确变形方向，才能准确地应用公式，达到求解目的．2．三角函数式的化简(1)化简的要求①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法．(3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等.题型探究题型一三角式的化简例1.(1)已知f(α)＝2tanα－2sin2α2－1sinα2cosα2，求fπ12；(2)已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π，求2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4的值．解析：(1)f(α)＝2tanα－－cosα12sinα＝2sinαcosα＋2cosαsinα＝4sin2α，∴fπ12＝4sinπ6＝8.(2)原式＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθ1＋tanθ，又tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22.解得tanθ＝－12或tanθ＝2. π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π，∴tanθ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋22.点评：要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值．变式探究1已知函数f(θ)＝－12＋sin52θ2sinθ2(0＜θ＜π)．(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；(2)若a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．解析：(1)f(θ)＝－12＋sin2θcosθ2＋cos2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2cosθsinθ2＋cos2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2cosθ＋cos2θ2＝－12＋4cosθ·1＋cosθ2＋2cos2θ－12＝2cos2θ＋cosθ－...