实际问题中导数的意义VIP免费

复习回顾xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101函数中关于的平均变化率为：yx)(xfy当即时，若平均变化率趋于一个固定值，则称这个值为函数在点的瞬时变化率。01xx0x)(xfy0x数学上称这个瞬时变化率为在点的导数，用表示，记作)(0xf0x)(xfyxyxfx0lim)(＊用导数求函数的单调区间：（1）求，并判断的符号；)(xf)(xf（2）解不等式得的单调增区间；0)(xf)(xf解得的单调减区间。)(xf0)(xf复习回顾我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量，都可以用导数的概念来理解。比如在物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中，降雨强度是降雨量关于时间的导数……前面主要学习利用导数帮助我们研究了函数的单调性和极值，导数的应用不止这些，它在日常生活工作和科学研究中有着广泛的应用。引言功与功率某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设函数为ttttWW166)(23（1）求t从1s到3s时，W关于t的平均变化率，并解释其实际意义；（2）求，，解释其实际意义。)1(W)2(W解析降雨强度下表为一次降雨过程中某段时间内记录下的降雨量数据：t(单位：min)，y(单位：mm)降雨量y是时间t的函数y=f(t)，（1）分别计算当t从0到10，从50到60时，y关于t的平均变化率，比较它们的大小，并解释实际意义；（2）假设得到降雨量y关于时间t的函数近似表达式为，求并解释其实际意义。ttf10)()40(f解析建造一幢面积为的房屋需要成本y万元，y是x的函数，设函数为2mx3.01010)(xxxfy（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？（2）求并解释其实际意义。)100(f解析建筑成本在自行车比赛中，运动员的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)的函数关系是2510tts求并解释其实际意义。)20(s动手做一做它表示第20秒时的瞬时速度是210m/s。)/(210)20(sms小结结束＊导数在实际问题中的意义：当导数为正数时，实际意义是自变量每增加一个单位时，函数值增加（或升高）个单位；当为负数时，自变量每增加一个单位，则函数值减小（或降低）个单位。)(xf)(xf)(xf)(xf导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率，速度和降雨强度等。在讨论实际问题时：具体问题具体分析（1）当t从1s变到3s时，功W关于t的平均变化率为解：)/(513112113)1()3(sJWW它表示从1s到3s这个人平均每秒做功5J。（2）求导可得16123)(2tttWsJW/)2(4sJW/7)1(∴W’(1)，W’(2)表示t=1和t=2时这人每秒做的功为7J和4J。问题2（1）t从0变到10时，和从50变到60时，降雨量y关于时间的变化率分别为：min)/(1010010010)0()10(mmyymin)/(2.0506022245060)50()60(mmyy它们分别表示从0到10分和从50到60分两个时间段内，平均每分降雨量为1mm和0.2mm。前10分钟的降雨强度比后10分钟的大，这说明刚开始的10分钟比后10分钟的雨下得大。降雨强度解：（2）求导得ttf105)(它值得是t=40分这一时刻，降雨量y关于t的瞬时变化率，即降雨强度为0.25mm/min。∴min)/(25.020540105)40(mmf问题3（1）x从100变到120时，y关于x的平均变化率为：100120)100()120(ff20)3.01010010()3.01012012(=)/(105.02m万元当建筑面积从100平米增加到120平米时，每增加1平米，成本平均约增加1050元。解：（2）求导得xxf201101)()/(105.02001101)100(2mf万元∴，即面积为100平米时，每增加1平米的建筑面积，成本就要增加1050元。当建筑面积为100平米时，成本增加的速度为2/1050m元练习