用分析法证明不等式·教案教学目标通过教学,学生掌握和应用分析法证明不等式.教学重点和难点理解分析法的证题格式并能熟练应用.教学过程设计师:我们已经学习了综合法证明不等式.综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说,就是“从已知,看已知,逐步推向未知”.综合法的思路如下:(从上往下看)(用投影片)师:其中,A表示已知条件,由A可以得到它的许多性质,如B,B1,B2,而由B又可以得到C,由B1还可以得到C1,C2,由B2又可以得到C3,…,而到达结D的只有C,于是我们便找到了A→B→C→D这条通路.当然,有时也可以有其他的途径达到D,比如A→B1→C1→D等.但是有许多不等式的证明题,已知条件很隐蔽,使用综合法证明有一定困难.这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手,今天我们介绍用分析法证明不等式,来解决这个问题.(复习了旧知识,并指出单一用综合法证明的不足之处,说明了学习分析法的必要性)分析法是从结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到和已知条件沟通为止,从而找出解题途径.概括地说,就是“从未知,看需知,逐步靠拢已知”.分析法的思路如下:(从下往上看)(用投影片)师:欲使结论D成立,可能有C,C1,C2三条途径,而欲使C成立,又有B这条途径,欲使C1成立,又有B1这条途径,欲使C2成立,又有B2,B3两条途径,在B,B1,B2,B3中,只有B可以从A得到,于是便找到了A→B→C→D这条解题途径.(对比综合法叙述分析法及其思路,便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系)师:用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是:(用投影片)欲证命题B为真,只需证命题B1为真,只需证命题B2为真,……只需证命题A为真,今已知A真,故B必真.师:在运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途径.下面举例说明如何用分析法证明不等式.首先解决刚才提出的问题.(板书)(此题以教师讲解,板书为主,主要讲清证题格式)师:请看投影,这个题还有一种证法.(投影片)师:这种证法是综合法.可以看出,综合法有时正好是分析过程的逆推.证法2虽然用综合法表述,但若不先用分析法思索,显然用综合法时无从入手,有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.师:若此题改为下面的证法是否有错?(投影片)①②③④⑤⑥⑦因为63<64成立,⑧⑨(学生自由讨论后,请一位同学回答)生:我认为第②步到⑦步有错,不等式①两边都是负的,不能平方.师:这位同学找到了证明过程中的错误,但错误原因叙述得不够准确.这种证法错在违背了不等式的性质.若a>b>0,则a2>b2;若0<a<b,则a2>b2.(不失时机地联系旧知识,在以新代旧的过程中,数学知识可以不断得到深化,学生的思维能力可以得到提高)师:下面看第二个例题.(板书)(学生推证,教师巡视,请一学生口答)因为c>1,即证-1<0,因为-1<0显然成立,师:以上两个例题充分显示了分析法的优越性.师:这个题目我们曾经用比较法进行过证明,请同学们考虑用分析法如何证明?(学生讨论,请一学生回答)生:因为b>0,所以b+1>0,去分母,化为a(b+1)<b(a+1),就是a<b,这个式子就是已知条件,所以求证的不等式成立.(学生理解了分析法的原理,应予以肯定,但这个回答不能作为证明过程,学生往往忽略分析法证明的格式,要及时纠正)师:这位同学“执果索因”,逐步逆找结论成立的充分条件,直至找到明显成立的不等式为止.很明显,逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程,因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法.但是作为证明过程,这位同学的回答不符合要求.应该如何证明呢?(请一位同学板书)因为b>0,b+1>0,故只需证a(b+1)<b(a+1),即证ab+a<ab+b,即证a<b,师:如果将这个题变化为其证明方法与例3相同.此题表明:分子、分母都是正的真分数,分子、分母同加上正数m,分数值变大——但不超过1,这是分数的何?(讲完一个例题后,将例题引伸是教学中常做的一件事,它可以使学生的认识得到“升华”,发展学生的思维,并起到触类旁通,...