河北省清河县高三数学《32数列求和》课时作业一、选择题(每小题5分，共30分)1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为()A．－45B．－50C．－55D．－66解析：Sn＝＝－n2，即＝－n，则数列的前11项和为－1－2－3－4－…－11＝－66.答案：D2．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于()A．1B．－1C．0D．2解析：S2n＝－n，S2n＋1＝S2n＋a2n＋1＝－n＋2n＋1＝n＋1，∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1.答案：A3．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10解析：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.Sn>1020，即2n＋1－2－n>1020.∵210＝1024,1024－2－9＝1013<1020.故nmin＝10.答案：D4．一个正整数数表如下(表中下一行的数的个数是上一行的数的个数的2倍)第1行1第2行23第3行4567……则第8行中的第5个数是()A．68B．132C．133D．260解析：因为第7行的最后一个数是20＋21＋…＋26＝＝27－1＝127，所以，第8行的第5个数是127＋5＝132.答案：B5．(2011·宜昌调研)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋2.则数列(n∈N*)的前n项和是()A.B.C.D.解析：依题意得f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋2，则m＝a＝2，f(x)＝x2＋2x，＝＝(－)，数列的前n项和等于[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝[(1＋＋…＋)－(＋＋…＋)]＝(1＋用心爱心专心1－－)＝，选C.答案：C6．(2010·潍坊质检)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()A．－log20102009B．－1C．log20102009－1D．1解析：由y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010(×××…×)＝log2010＝－1，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．数列{an}的通项公式为an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，则{an}的前n项和Sn＝__________.解析：由题意得数列{an}的前n项和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝＋2n＋1－2.答案：＋2n＋1－28．数列，，，，…的前n项和等于__________．解析：an＝＝∴Sn＝＝＝－.答案：－9．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.解析：设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)∴d＝2或d＝0(舍去)．∴an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，∴Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案：2n＋2－n－4三、解答题(共55分)10．(15分)求和：(1)＋＋…＋.(2)＋＋＋…＋.解：(1)∵＝(－)∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.(2)∵＝＝－用心爱心专心2∴原式＝－＋－＋…＋－＝1－.11．(20分)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn.∴＝3.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n－1(n∈N*)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2(n≥2)，∴an＝.(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②，得－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1.∴Tn＝＋(n－)3n－1(n≥2)．又∵T1＝a1＝1也满足上式，∴Tn＝＋(n－)3n－1(n∈N*)．——探究提升——12．(20分)(2010·宝鸡质检二)已知数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a1＝3，bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)求Sn；(3)设f(x)＝(x－2n＋1)ln(x－2n＋1)－x(n∈N*)，求证：f(x)≥.解：(1)∵a1＝3，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴数列{an－1}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，得an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.∴bn＝＝＝－，∴Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.(3)由f′(x)＝ln(x－2n＋1)＝0可得x＝2n，当x∈(2n－1,2n)时，f′(x)<0；当x∈(2n，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)≥f(2n)＝－2n.由(2)可得＝－2n，所以有f(x)≥.用心爱心专心3
