函数第二轮复习专题（一）二次函数二次函数的图象是抛物线,以直线为对称轴,顶点为它与轴交点的横坐标是方程的根,它在轴上截得线段长为:.当且时,有恒成立;当且时,恒成立.二次函数常用的另两种表达形式为:顶点式:其中为抛物线顶点双根式:其中、为方程的两根.例题1：已知二次函数满足,其图象顶点为A,图象与x轴交于点B和C点,且△ABC的面积为18,写出此二次函数的解析式.解：对称轴为,顶点坐标为设二次函数解析式为:,设,,即有,由点坐标代入得:或例题2：已知,若在区间上的最大值为,最小值为,令.(1)求的函数表达式；(2)判断的单调性,并求出的最小值.解：(1)函数的对称轴为直线,而∴在上函数第二轮复习专题-1-①当时，即时，②当2时，即时，(2).练习：1、已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．解： 二次函数的对称轴为，设所求函数为，又 截轴上的弦长为，∴过点，又过点，∴，，∴．2、已知在区间[0，1]内有最大值－5，求a的值.3、函数是定义在R上的奇函数，当，（Ⅰ）求x<0时，的解析式；(2)求在的值域4、已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。（1）证明：。（2）若的表达式。（3）设，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。解：（1）由条件知恒成立又 取x=2时，与恒成立函数第二轮复习专题-2-∴（2） ∴∴又恒成立，即恒成立∴，解出：∴（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：利用相切时△=0，解出∴解法2：必须恒成立即恒成立①△<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：②解出：总之，（二）抽象函数研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．例题：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足．（1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；解：（1） 对任意x,y都有，∴令x=y=1时，有，∴f(1)=0；…………………2分∴令x=y=－1时，有∴f(－1)=0．………………4分函数第二轮复习专题-3-（2） f(x)对任意x，y都有∴令x=t，y=－1,有……………6分将代入得，……………………7分∴函数是上的奇函数．…………………8分练习1：已知函数对一切，都有，（1）判定是奇偶性；（2）若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得练习2：是定义在上的函数，对于任意，恒成立，且,（1）计算；（2）试判断的奇偶性.解：（1）令，得，且，∴（2） 对于任意，恒成立令，得，即．故是偶函数．（三）函数在导数中应用（重点解决四类问题）例题1、已知函数f(x)＝2x3+ax与g(x)＝bx2+cx的图象都过点P(2，0),且在点P处有公共切线．求：（1）f(x)和g(x)的表达式及公切线方程；（2）若F(x)＝f'（1）lnx+，求F(x)单调区间．解：（1）f(x)=2+ax过点P(2，0)，a＝一8，f(x)=2—8；……………………2分而，切线的斜率，过点P(2，0)4b+2c＝0，又解得b=8，c＝一16函数第二轮复习专题-4-………………………5分切线方程为y=16(x一2)，即16x一y一32＝0………………………………6分（2）所以…………7分…..9分当时得当时得所以函数F（x）的单调增区间为（2，+），单调减区间为（0，2）…12分例题2：已知函数（a为常数），当a=5时，求f(x)的极值；解：a=5时，，……3分x04f′(x)+0－0+f(x)递增极大值f()递减极小值f(4)递增∴f(x)极大=－－ln4，f(x)极小=－6+ln4………………7分例题3：已知函数，若x=3是的极值点，求在上的最小值和最大值.解：由题意知的一个根为x=3，可得a=5，所以的根为x=3或（舍去）又∴上的最小值是.最大值是……………………12分练习：1、已知函数、b为常数）的图象在处有公共切线.函数第二轮复习专题-5-（I）求a的值；（II）求函数的极大值和极小值；解：（I）…………3分（II）.…………6分单调递减，单调递增.…………10分2、已知函数有极值，且曲线处的切线斜率为3。（1）求函数的解析式；（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。解：（1）……………………1分由题意，得…...
