2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第五章平面向量二、向量的数量积、平移知识网络范题精讲【例1】求证：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.证法一：如图，ABCD中，求证：AB2＋BC2＋CD2＋DA2=AC2＋BD2.设=b，=a，AC2=||2=（a＋b）2=a2＋b2＋2a·b.①BD2=||2=（a－b）2=a2＋b2－2a·b.②①＋②得AC2＋BD2=2a2＋2b2=AB2＋BC2＋CD2＋DA2.故原命题得证.证法二：如图，建立直角坐标系，设A（m，n），C（p，0），则=（m，n）.∴D（p＋m，n）.∴有AB2=CD2=2=m2＋n2，DA2=BC2=2=p2.∴有AB2＋BC2＋CD2＋DA2=2（m2＋n2＋p2）.又 BD2=2=（p＋m）2＋n2，AC2=2=（m－p）2＋n2，∴有BD2＋AC2=（p＋m）2＋n2＋（m－p）2＋n2=2（p2＋m2＋n2）.∴原命题成立.评注：求解有关向量问题，可利用向量的加减法运算法则，也可利用向量的坐标运算进行.【例2】已知A（2，3），B（－1，5）且满足，，，求C、D、E的坐标.解法一：设C（x1，y1）、D（x2，y2）、E（x3，y3），用心爱心专心 =（x1－2，y1－3），=（－3，2），=（x2－2，y2－3），=（x3－2，y3－3），由条件得（x1－2，y1－2）=（－3，2），（x2－2，y2－3）=3（－3，2），（x3－2，y3－3）=－（－3，2）.从而，∴C（1，），D（－7，9），E（，）.解法二：由，得.由得.由得.由定比分点公式，可得，，，，，.∴C（1，），D（－7，9），E（，）.点评：本题是向量坐标表示的典型题，解法一主要是运用若向量相等，则其坐标相等这一原则来解，思路清晰，易于理解.解法二主要是运用定比分点公式求点的坐标，此题关键在于求λ，将已知向量关系进行分解转化成，，的形式，从而分别求出λ.【例3】把函数的图象按a平移，得到的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，求b的坐标.解法一：由题可知，，其顶点坐标为（1，3），平移后其对应的图象的顶点为（0，0），设a=（h，k），则有∴a=（－1，－3）.设b=（x，y），则有a⊥b－x－3y=0，①b·c=4x－y=4.②由①②解得∴b=（3，－1）.用心爱心专心解法二：设a=（h，k），在函数的图象F上任取一点P（x，y），它在平移后的图象F′上的对应点为P′（x′，y′），则由平移公式，有因为P′（x′，y′）在F′上，代入可得y＋k=2（x＋h）2，即y=2x2＋4hx＋2h2－k.对照平移前函数的解析式，有解得∴a=（－1，－3）.（以下同解法一）.【例4】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a－b|，求a与a＋b的夹角.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a－b|，得|b|2=|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b=|a|2.而|a＋b|2=|a|2＋2a·b＋|b|2=3|a|2.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）， |a|=|b|，∴x12＋y12=x22＋y22.由|b|=|a－b|，得x1x2＋y1y2=（x12＋y12）.由|a＋b|2=2（x12＋y12）＋2·（x12＋y12）=3（x12＋y12），得|a＋b|=.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝，∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB. |a|=|b|，∴||=||.∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB.又 =a＋b，=a－b，而|a|=|b|=|a－b|，则||=||=||.∴△AOB为正三角形，∠AOB=60°.于是∠AOC=30°，即a与a＋b的夹角为30°.评注：基于平面向量的表示上的差异，即表示方法的不同，产生了上述三种不同的解法.试题详解高中同步测控优化训练（十一）平面向量（二）（A卷）说明：试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可用心爱心专心在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若向量a=（x＋3，x2－3x－4）与相等，其中A（1，2），B（3，2），则x等于（）A.1B.0C.－1D.2解析： A（1，2），B（3，2），∴=（2，0）.又 a=，∴它们的坐标一定相等.∴（x＋3，x2－3x－4）=（2，0）.∴解得x=－1.答案：C2.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（）A.B.C.：－D.－解析：点P分所成的比为，∴.∴，即，∴A分所成的比为－.答案：D3.将函数y=log2（2x）的图象F，按a=（2，－1）平移到F′，则F′的解析式为（）A.y=log2［2（x－2）］－1B.y=log2［2（x＋2）］...
