圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例VIP免费

圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例性质⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，设=q，则是焦准距，是离心率。⑵过双曲线(a＞0,b＞0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，设=q。若A、B两点在双曲线的同一支上（此时称AB为双曲线的同支焦点弦），则，其中是焦准距；若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上（此时称AB为双曲线的异支焦点弦），则是焦准距，是离心率。（抛物线的类似性质，本文从略）证明：（只证性质⑴,性质⑵的证明从略）由对称性，不妨取F为右焦点。设右准线l与x轴交于点D，过A作AG⊥l于G，过B作BH⊥l于点H，则AG∥FD∥BH；且由椭圆的第二定义知，|AG|=，|BH|=。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|=。故由，=可得：。∴。因此，m+n=⇔。∴，从而就是焦准距。证毕。[说明]①在上述证明过程中出现的“m=n”，“即|FE|=|ED|”，亦即E为线段FD的中点（如图1）----这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。②如图1，若设∠AFD=，并分别过A、F作FD和BH的垂线，则可证：，；从而得焦点弦长公式：|AB|==AFBDEGHl:x=图1就是焦准距。在双曲线与抛物线中也有这样的公式，如：在双曲线(a＞0,b＞0)中，若焦点弦AB的倾斜角为，则，；从而焦点弦长为焦准距，是离心率，且。③如图1，若分别连接AD和BD，利用说明①的结论，则易证：∠ADF=∠BDF，即x轴平分∠ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。例1（07年全国(Ⅰ)高考（理）题)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明：；(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。分析：(Ⅰ)略。(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在椭圆的内部，因此，（画草图）四边形ABCD的面积S=。设直线AC的倾斜角为，则由本文性质的说明②可得：|AC|=；而AC⊥BD，∴|BD|=。从而S=。由均值不等式可得：≤425]2sin3(cos3([222))=+θθ--。∴S≥259642524=÷，当且仅当=45°或135°时取等号——问题获解。例2⑴求双曲线同支焦点弦的弦长的最小值；⑵求双曲线异支焦点弦的弦长的最小值。解⑴由对称性（如图2），不妨设同支焦点弦AB经过右焦点F(c,0)，且设=n，图2则由本文性质⑴知：，即。而mn≤,∴≥。因此≥，即≥。故|AB|=m+n≥，其中当且仅当m=n时取等号；即焦点弦AB垂直于实轴时，同支焦点弦的弦长取到最小值。⑵设异支焦点弦CD的倾斜角为，则由本文性质的说明②可得：。易知当且仅当时取|CD|最小值2a。（注：运用“数形结合”思想，也易从图2中推出|CD|≥2a）。例3已知斜率为1的直线l过双曲线C:的右焦点F，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且满足，求双曲线C的方程。解设P(x1,y1）、Q(x2,y2)、F(c,0)，则。由及题意知，点P、点Q分别位于双曲线的右、左两支上（如图3），且x1＞,y1＜0；x2＜-，y2＜0。而直线l：y=x-c，，。∴=5且。故，且。分别作线段QG⊥x轴于G、PH⊥x轴于H（如图3），则由∠=45°可得|FQ|=|QG|=-，|FP|=|PH|=-。再由本文性质⑵得：。故。解之得y2=。∴。将x2,y2代入双曲线C的方程中得：FPQOHG图3。整理得：。 ，∴。故。即。解之得:或。显然舍去。因此所求双曲线C的方程为：。例4（由2000年全国高考（理）题改编)如图4，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线的离心率e的取值范围。解易知C、D关于y轴对称，由题可设B(c,0),则由|AB|=2|CD|可得C（，y0）。设双曲线的方程为，则由焦半径公式可得：|AC|=e×+a。而。，从而。由本文性质⑵知：，∴。ABCDExy因此，即。又，。故。解得。再e＞1,∴。例5如图5，以A1、A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、D1、C1四点，A1、A2、B是圆O与坐标轴的交点，连结CC1并与OB交于点H，且有，c又是双曲线E的半焦距。⑴当c=1时，求双曲线E的方程；⑵试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；⑶连结A1C与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。解⑴设双曲线E的方程为，其中。 ，O、H、B都在y轴上，且|OB|=c。∴，故|HB|=。因此。连结OC，则|HC|=。当c=1时，可知点C在双...