中档题专练(八)1.已知向量a=(2sinx,cosx),b=(❑√3cosx,2cosx).(1)若x≠kπ+π2,k∈Z,且a∥b,求2sin2x-cos2x的值;(2)定义函数f(x)=a·b-1,求函数f(x)的单调递减区间,并求当x∈[0,π2]时,函数f(x)的值域.2.(2018苏锡常镇四市高三调研(一))如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的高为❑√6,其底面边长为2.已知点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,点D是棱CC1上靠近C的三等分点.求证:(1)B1M∥平面A1BN;(2)AD⊥平面A1BN.3.(2018江苏海安高级中学高三月考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,且点(❑√2,❑√22)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设⃗PD=λ⃗PQ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.4.(2018苏锡常镇四市高三调研(一))如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2),连接PQ.(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时角θ的正弦值.答案精解精析1.解析(1)因为a∥b,所以4sinxcosx-❑√3cos2x=0,因为x≠kπ+π2,k∈Z,所以cosx≠0,即tanx=❑√34,所以2sin2x-cos2x=2tan2x-1tan2x+1=-1019.(2)f(x)=a·b-1=2❑√3sinxcosx+2cos2x-1=❑√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6),令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).因为x∈[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6],所以sin(2x+π6)∈[-12,1],所以当x∈[0,π2]时,函数f(x)的值域为[-1,2].2.证明(1)连接MN,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C是平行四边形,因为点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,所以MN∥AA1且MN=AA1,又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1=BB1,所以MN∥BB1且MN=BB1,所以四边形MNBB1是平行四边形,所以B1M∥BN,又B1M⊄平面A1BN,BN⊂平面A1BN,所以B1M∥平面A1BN.(2)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BN⊂平面ABC,所以BN⊥AA1,正△ABC中,N是AC的中点,所以BN⊥AC,又AA1、AC⊂平面AA1C1C,AA1∩AC=A,所以BN⊥平面AA1C1C,又AD⊂平面AA1C1C,所以AD⊥BN,因为AA1=❑√6,AC=2,AN=1,CD=❑√63,所以AA1AC=ANCD=❑√32,又∠A1AN=∠ACD=π2,所以△A1AN∽△ACD,则∠AA1N=∠CAD,所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π2,则AD⊥A1N,又BN∩A1N=N,BN,A1N⊂平面A1BN,所以AD⊥平面A1BN.3.解析(1)因为点(❑√2,❑√22)在椭圆C上,所以2a2+12b2=1,又椭圆C的离心率为❑√32,可得ca=❑√32,即c=❑√32a,所以b2=a2-c2=a2-(❑√32a)2=14a2,代入上式,可得2a2+2a2=1,解得a2=4,故b2=14a2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).因为⃗PD=λ⃗PQ,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0.所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0).设B(x1,y1),kPB·kBA=y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y12-y02x12-x02=(1-x124)-(1-x024)x12-x02=-14,又kBA=kAD=(1-2λ)y0-(-y0)x0-(-x0)=(1-λ)y0x0,故kPB=-14kBA=-x04(1-λ)y0.又PA⊥PB,kPA=y0x0,所以kPB·kPA=-1,即-x04(1-λ)y0·y0x0=-1,解得λ=34.所以λ=34.4.解析(1)设∠OPQ=α,在Rt△OAQ中,OA=3,∠AQO=π-∠AQC=π-2π3=π3,所以OQ=❑√3,在△OPQ中,OP=3,∠POQ=π2-θ=π2-π3=π6.由正弦定理得OQsin∠OPQ=OPsin∠OQP,即❑√3sinα=3sin(π-α-π6),所以❑√3sinα=sin(π-α-π6)=sin(5π6-α),则❑√3sinα=sin5π6cosα-cos5π6sinα=12cosα+❑√32sinα,所以❑√3sinα=cosα,因为α为锐角,所以cosα≠0,所以tanα=❑√33,得α=π6.所以∠OPQ的大小为π6.(2)设∠OPQ=β,在△OPQ中,OP=3,∠POQ=π2-θ,由正弦定理得OQsin∠OPQ=OPsin∠OQP,即❑√3sinβ=3sin[π-β-(π2-θ)],所以❑√3sinβ=sin[π-β-(π2-θ)]=sin[π2-(β-θ)]=cos(β-θ)=cosβcosθ+sinβsinθ,从而(❑√3-sinθ)sinβ=cosβcosθ,其中❑√3-sinθ≠0,cosβ≠0,所以tanβ=cosθ❑√3-sinθ,记f(θ)=cosθ❑√3-sinθ,则f'(θ)=1-❑√3sinθ(❑√3-sinθ)2,θ∈(0,π2),令f'(θ)=0,则sinθ=❑√33,存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=❑√33,当θ∈(0,θ0)时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增,当θ∈(θ0,π2)时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减,所以当θ=θ0时,f(θ)最大,即tan∠OPQ最大,又∠OPQ为锐角,从而∠OPQ最大时sinθ=❑√33.答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为❑√33.
