太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日圆锥曲线考前练兵参考答案（一）填空题：1.抛物线2.相切3.4.P（2，2）5.6.7.8.9.10.11.12.413.14.∵，∴.（二）解答题：15.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）．（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．[解]：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距，，∴，，故所求椭圆的标准方程为+；（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：、（0，-6）、（0，6）设所求双曲线的标准方程为－，由题意知半焦距，，∴，-1-编辑：王树锋太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日，故所求双曲线的标准方程为－16．设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．[解]：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，．因为点P在圆上，所以．即，即，这就是动点M的轨迹方程．17.如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积．[解]（1）解法一：轴，∴的坐标为．由题意可知得∴所求椭圆方程为．解法二：由椭圆定义可知．由题意，∴．又由△可知，，∴-2-编辑：王树锋ylMF1F2xO太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日，又，得．∴椭圆的方程为．（2）直线的方程为．由得点的纵坐标为．又，∴．18.在周长为定值的，且当顶点C位于定点P时，有最小值为.（1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.（2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合.[解]：（1）以AB所在直线为轴，线段AB的中垂线为轴建立直角坐标系.设所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，焦距.因为,又,所以，由题意得＝,所以.此时,所以P点的轨迹方程为.（2）不妨设A点的坐标为A（－3，0），M（），N（），当直线MN的倾斜角不为时，设其方程为,代入椭圆方程化简，得,显然有所以，.又所以-3-编辑：王树锋太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日只要考虑的最小值，即考虑1－取最小值，显然，当直线MN的倾斜角为时，，得，但，故，这样的M、N不存在.即.19.给定圆P:及抛物线S:，过圆心作直线，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为，如果线段的长按此顺序构成一个等差数列，求直线的方程.[解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，有,则.故,因此.据等差,,-4-编辑：王树锋xyoABCDP太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日所以，即,，即：方程为或.20.椭圆G：的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足（Ⅰ）求离心率e的取值范围；（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，点若直线PQ垂直平分弦AB，求AB所在的直线方程.[解]：（I）设M（x0，y0）①又②由②得代入①式整理得又解得（Ⅱ）（i）当设H（x，y）为椭圆上一点，则若0由（舍去）-5-编辑：王树锋太仓市实验高级中学08届高三理科数学培优班导学学案（八）2007年12月19日若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18由2b2+18=50得b2=16∴所求椭圆方程为（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由③又直线PQ⊥直线l∴直线PQ方程为将点Q（x0，y0）代入上式得，④由③④得Q∴直线AB的方程为（ⅱ）另解，设直线l的方程为y=x+b由得设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则③又直线PQ⊥直线l∴直线PQ方程为将点Q（x0，y0）代入上式得，④将③代入④此时，△=符合要求∴直线AB的方程为…-6-编辑：王树锋
