上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲 学习能力型问题（1）泸教版VIP专享VIP免费

上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲学习能力型问题（1）学习新的数学知识的能力指的是通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则和方法等），并能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力，这里我们简称为学习能力．学习能力型问题常见的有以下几种类型：1．概念学习型；2．定理（公式）学习型；3．方法学习型．我们还是从各地高考数学试题中的学习能力型问题开始．一、概念学习型例1．（北京2004）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为____________．这个数列的前n项和nS的计算公式为_____________________________________．解析：这里给出“公和”的概念，其实就是摆动数列,3,2,3,2,3,2，所以为奇数为偶数nnnnSn,215,25．例2.对于任意两个集合X和Y，X-Y指所有属于X但不属于Y的集合，X和Y的对称差X△Y规定为X△Y=（X-Y）∪(X-Y）。设A={y︴y=x2,x∈R}，B={y︴y=3sinx,x∈R}，求A△B。解：A△B=[-3，0）∪（3，+∞）例3.如果有穷数列123naaaa，，，，（n为正整数）满足条件naa1，12naa，…，1aan，即1iniaa（12in，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mmmmCCC，，，就是“对称数列”．（1）设nb是项数为7的“对称数列”，其中1234bbbb，，，是等差数列，且21b，114b．依次写出nb的每一项；（2）设nc是项数为12k(正整数1k)的“对称数列”，其中用心爱心专心121kkkccc，，，是首项为50，公差为4的等差数列．记nc各项的和为12kS．当k为何值时，12kS取得最大值？并求出12kS的最大值；（3）对于确定的正整数1m，写出所有项数不超过m2的“对称数列”，使得211222m，，，，依次是该数列中连续的项；当m1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S．解：（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值．12kS的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①22122122222221mmm，，，，，，，，，，；②2211221222222221mmmm，，，，，，，，，，，；③122221222212222mmmm，，，，，，，，，，；④1222212222112222mmmm，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m≥时，1222212008200722008S．当15002007m≤时，200922122008222221mmmmS用心爱心专心2009212212mmm1222200921mmm．对于②，当2008m≥时，1220082008S．当15002007m≤时，2008S122200821mm．对于③，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，2008S3222009mm．对于④，当2008m≥时，2008200822mmS．当15002007m≤时，2008S2222008mm．例4.（03年上海理科）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；（3）若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=.Mx（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：xyayx有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.于是对于f(x)=ax有)()(xTfaTaaaTxfxxTTx故f(x)=ax∈M.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(k...