上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第3讲 探究能力型问题（2）泸教版VIP专享VIP免费

上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第3讲探究能力型问题(2)例9．（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以()fn表示第n堆的乒乓球总数，则(3)_____f；()_____fn（答案用n表示）．解：10631)3(f；2)1(631)21()321()21(1)(nnnnf，而nknknknnnnnnnnkkkk11126)2)(1(2)1(216)12)(1(21222)1(．再看下面的题目．例10．（2004春上海）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.解析：设第n个图中有na个点，则11a，12132a，23173a，341134a，451215a，……因此，一般地有1)1(12nnnnan．例10与例9相比，有异曲同工之妙．例10注重观察归纳能力，而例9更注重归纳和运算能力．例11．已知na是等差数列，且满足等式：nnnnnnCaCaCan221112（n为正整数）．试求出这个等差数列的通项na．分析：这是一个有关自然数n的问题，上述等式对任意自然数n都成立，可以先取用心爱心专心图1…1n，2，3，4等特殊值，设法求出1a，2a，3a，4a等值，从中发现规律，求出na．解：1n时，等式为2111121Ca，求得11a，2n时，等式为1221212122CaC，求得22a，3n时，等式为3332313132123CaCC，求得33a，4n时，4443424141432124CaCCC，求得44a，依次类推，一般地，猜想nan．下面进行证明．设nnnnnnnnCCnCCS121)1(2①则1212)1(nnnnnnnCCCnnCS，12102)1(nnnnnnnCCCnnCS②①②得nnnnnnnnCCCCnS22210，∴12nnnS，即nnnnnnCCCn21122（Nn）∴nan．说明：对于与自然数有关的问题，常常可以先取自然数n的若干个较小的值（如1n，2，3等）进行探索，通过观察，比较，归纳，发现规律，然后猜想结论，最后再对所猜想的结论加以证明．例12．已知定义在正整数集N上的函数)(nf满足)2()()1(nfnfnf．（1）试写出函数)(nf的一个性质；（2）若1)1(f，2)2(f，求)2007(f的值．分析：（1）讨论函数的性质主要是考虑它的单调性、奇偶性与周期性等．由于已知的函数定义在正整数集N上，它显然不具有奇偶性，根据表达式)()1()2(nfnfnf知，函数)(nf在N上也不是单调的，因此可以从探索周期性入手．（2）由第（1）题得到的函数)(nf的性质，再结合1)1(f，2)2(f，进一用心爱心专心步探索)(nf的一般规律，从而求得)2007(f．解：（1）由已知得)()1()2(nfnfnf，∴)()1()]()1([)1()2()3(nfnfnfnfnfnfnf，于是)()3()6(nfnfnf，因此，函数)(nf具有的性质可以是：①)()3(nfnf；②)()6(nfnf，即)(nf是周期为6的周期函数．（2）由（1）的结论及1)1(f，2)2(f得，1)1()2()3(fff，1)2()3()4(fff，同法可得，2)5(f，1)6(f，1)7(f（)1(f）．∴1)3()33346()2007(fff．例13．设)(xf是定义在R上的偶函数，图像关于直线1x对称，且对任意21,0,21xx，有)()()(2121xfxfxxf．（1）设af)1(，求21f，41f，…，nf21的值；（2）求证：)(xf是以2为周期的函数，并将该命题加以推广．分析：这是一道由条件探索规律的问题，关键在于如何由af)1(得到)21(f，然后类推出其他结论．由于)()()(2121xfxfxxf，因此21212121)1(ffffaf212，然后确定21f的符号．由此进一步推出其他函数值．解：（1）令2121xx，由已知得affff21212121212，用心爱心专...