上海市封浜中学高三数学二轮专题复习:第3讲探究能力型问题(2)例9.(2006广东)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图1所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以()fn表示第n堆的乒乓球总数,则(3)_____f;()_____fn(答案用n表示).解:10631)3(f;2)1(631)21()321()21(1)(nnnnf,而nknknknnnnnnnnkkkk11126)2)(1(2)1(216)12)(1(21222)1(.再看下面的题目.例10.(2004春上海)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.解析:设第n个图中有na个点,则11a,12132a,23173a,341134a,451215a,……因此,一般地有1)1(12nnnnan.例10与例9相比,有异曲同工之妙.例10注重观察归纳能力,而例9更注重归纳和运算能力.例11.已知na是等差数列,且满足等式:nnnnnnCaCaCan221112(n为正整数).试求出这个等差数列的通项na.分析:这是一个有关自然数n的问题,上述等式对任意自然数n都成立,可以先取用心爱心专心图1…1n,2,3,4等特殊值,设法求出1a,2a,3a,4a等值,从中发现规律,求出na.解:1n时,等式为2111121Ca,求得11a,2n时,等式为1221212122CaC,求得22a,3n时,等式为3332313132123CaCC,求得33a,4n时,4443424141432124CaCCC,求得44a,依次类推,一般地,猜想nan.下面进行证明.设nnnnnnnnCCnCCS121)1(2①则1212)1(nnnnnnnCCCnnCS,12102)1(nnnnnnnCCCnnCS②①②得nnnnnnnnCCCCnS22210,∴12nnnS,即nnnnnnCCCn21122(Nn)∴nan.说明:对于与自然数有关的问题,常常可以先取自然数n的若干个较小的值(如1n,2,3等)进行探索,通过观察,比较,归纳,发现规律,然后猜想结论,最后再对所猜想的结论加以证明.例12.已知定义在正整数集N上的函数)(nf满足)2()()1(nfnfnf.(1)试写出函数)(nf的一个性质;(2)若1)1(f,2)2(f,求)2007(f的值.分析:(1)讨论函数的性质主要是考虑它的单调性、奇偶性与周期性等.由于已知的函数定义在正整数集N上,它显然不具有奇偶性,根据表达式)()1()2(nfnfnf知,函数)(nf在N上也不是单调的,因此可以从探索周期性入手.(2)由第(1)题得到的函数)(nf的性质,再结合1)1(f,2)2(f,进一用心爱心专心步探索)(nf的一般规律,从而求得)2007(f.解:(1)由已知得)()1()2(nfnfnf,∴)()1()]()1([)1()2()3(nfnfnfnfnfnfnf,于是)()3()6(nfnfnf,因此,函数)(nf具有的性质可以是:①)()3(nfnf;②)()6(nfnf,即)(nf是周期为6的周期函数.(2)由(1)的结论及1)1(f,2)2(f得,1)1()2()3(fff,1)2()3()4(fff,同法可得,2)5(f,1)6(f,1)7(f()1(f).∴1)3()33346()2007(fff.例13.设)(xf是定义在R上的偶函数,图像关于直线1x对称,且对任意21,0,21xx,有)()()(2121xfxfxxf.(1)设af)1(,求21f,41f,…,nf21的值;(2)求证:)(xf是以2为周期的函数,并将该命题加以推广.分析:这是一道由条件探索规律的问题,关键在于如何由af)1(得到)21(f,然后类推出其他结论.由于)()()(2121xfxfxxf,因此21212121)1(ffffaf212,然后确定21f的符号.由此进一步推出其他函数值.解:(1)令2121xx,由已知得affff21212121212,用心爱心专...