专题10等差数列与等比数列等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.3．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的前n项和(1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的．(2)等差数列{an}的前n项和公式：【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．(3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．2.典型例题例1已知数列为等差数列，且，，则（）（A）45（B）43（C）42（D）40分析：本题考查等差数列的通项公式，只要把用表示出来，解出，再利用通项公式就可求得.解析：，.例2已知等差数列中，，记，S13=()A．78B．68C．56D．52分析：从已知条件分析，可用基本量法解决问题，即由，，可解出.【练一练趁热打铁】1.若是等差数列的前项和,且，则的值为．【答案】442.在等差数列中,已知,则_____.【答案】【解析】依题意,所以.或:.等差数列的性质【背一背基础知识】1.等差数列{an}的常用性质(1)通项推广：an＝am＋(n－m)d(d为数列{an}的公差)．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为k2d.(5)Sn＝n＝n＝n＝….2．等差数列的前n项和公式与函数的关系(1)等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化为：Sn＝n2＋(a1－)n.数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的常数项为零的二次函数，即.(2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列．(2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数．(3)等差数列的单调性等差数列公差为d，若d>0，则数列递增．若d<0，则数列递减．若d＝0，则数列为常数列．(4)等差数列的简单性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d.④S2n－1＝(2n－1)an.⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．2.典型例题例1在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58(B)88(C)143(D)176分析：利用等差数列的性质可得，则有.解析：在等差数列中，，答案为B例2等差数列中，若，，则=______.分析：直接由等差数列的性质可得，则，又，得，所以，所以.【练一练...
