第7章立体几何第6讲A组基础关1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.OAB．OBC．OCD．OA或OB答案C解析根据题意得OC＝(a－b)，所以OC，a，b共面．故选C.2．(2018·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.AB·C1A＝a2B．AB·A1C1＝a2C.BC·A1D＝a2D．AB·C1A1＝a2答案C解析建系如图．则AB·C1A＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，AB·A1C1＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，BC·A1D＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，AB·C1A1＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.B．C．D．答案D解析因为a·b＝(1,0,1)·(x,1,2)＝x＋2＝3，所以x＝1，所以|a|＝，|b|＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝.又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则()A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面答案B解析解法一：因为6OP＝OA＋2OB＋3OC，所以OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1，所以A，B，C，P四点共面．解法二：因为6OP＝OA＋2OB＋3OC，所以0＝(OA－OP)＋2(OB－OP)＋3(OC－OP)，所以PA＋2PB＋3PC＝0，1所以PC＝－PA－PB，所以PC，PA，PB共面，又三个向量有公共点P.所以P，A，B，C四点共面．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1.其中能够化简为向量BD1的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案A解析①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；③(AD－AB)－2DD1＝BD－2DD1≠BD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1＝B1D＋DD1＝B1D1≠BD1.综上，①②符合题意．故选A.6．(2018·舟山模拟)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．8答案A解析设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，|AC1|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.故选A.7．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则边AC上的高BD＝()A．5B．C．4D．2答案A解析设AD＝λAC，AC＝(0,4，－3)，则AD＝(0,4λ，－3λ)，AB＝(4，－5,0)，BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)．由AC·BD＝0，得λ＝－，所以BD＝，所以|BD|＝5.故选A.8．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.答案2解析因为a⊥b，所以a·b＝(2,3,1)·(－4,2，x)＝－8＋6＋x＝0，所以x＝2.所以|b|＝＝2.9．(2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________.答案解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c.则MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝b＋c－a，2OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝a＋＝a＋b＋c，又OG＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝，y＝，z＝，x＋y＋z＝＋＋＝.10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是________．答案[0,1]解析由题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0,1]，DC·AP＝AB·(AB＋BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝AB2＋λAB·(AD1－AB)＝(1－λ)AB2＝1－λ，因此DC·AP的取值范围是[0,1]．B组能力关1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标，已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是()A．(4,0,3)B．(3,1,3)C．(1,2,3)D．(2,1,3)答案B解析设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(x，y，z)，则4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，因为a，b，c不共面，所以解得x＝3，y＝1，z＝3，所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90...
