中档大题分类练(一)三角函数、解三角形(建议用时：60分钟)1．已知m＝，n＝，设函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f(B)的取值范围．[解](1)f(x)＝m·n＝·＝sin＋，令2kπ－≤＋≤2kπ＋，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为，k∈Z.(2)由b2＝ac可知cosB＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号)，所以0＜B≤，＜＋≤，1＜f(B)≤，综上f(B)的取值范围为.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1)由正弦定理可得：sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA，从而可得：sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是cosA＝，又A为三角形内角，所以A＝.(2)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA得：4＝b2＋c2－2bc≥2bc－bc，所以bc≤4(2＋)，所以S＝bcsinA≤2＋，△ABC面积最大值为2＋.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值．[解](1)在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c.由a－c＝b，得a＝2c.所以cosA＝＝＝.(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.所以cos＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.4．如图54所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.图54(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2，求AB的长．[解](1)因为∠D＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－.因为D∈(0，π)，所以sinD＝＝.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2.因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.(教师备选)1．已知f(x)＝4sinxcosx＋2cos2x－1，x∈.(1)求f(x)的值域；(2)若CD为△ABC的中线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，cos∠BCA＝，求CD的长．[解](1)f(x)＝4sinxcosx＋2cos2x－1，化简得f(x)＝2sin2x＋2cos2x－1＝4sin2x＋－1.因为x∈，所以2x＋∈，当2x＋＝时，sin取得最大值1，当2x＋＝或2x＋＝时，sin取得最小值，所以sin∈，4sin－1∈[1,3]，所以f(x)的值域为[1,3].(2)法一：因为AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，由(1)知，AC＝3，BC＝1，又因为cos∠BCA＝，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝8，所以AB＝2.因为AC2＝AB2＋BC2，所以△ABC为直角三角形，B为直角.故在Rt△ABC中，BC＝1，BD＝，所以CD＝＝.法二：由(1)知|CA|＝3，|CB|＝1，CD＝(CA＋CB)，所以CD2＝(CA2＋CB2＋2CA·CB)＝＝3，所以|CD|＝.2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围．[解](1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－22＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.
