应用性问题---精选精讲VIP专享VIP免费

应用性问题～精选精讲数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型.高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应引起重视.【例1】．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：．整理得：．所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．【例2】．某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ)把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ)若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）用心爱心专心讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则．所以，．因为，所以，，等号当且仅当，即时取得．(Ⅱ)当时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性．任取，且设，则，由于，所以，，所以，，所以，函数在区间上单调递增．所以，当时，取得最小值为：（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．【例3】假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，（Ⅰ）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（Ⅱ）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【分析及解】（Ⅰ）设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列.其中a1=250,d=50.则Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即而n是正整数，∴n≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（Ⅱ）设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列.用心爱心专心其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1,由题意可知an>0.85bn,有250+（n-1）·50>400·(1.08)n-1·0.85.即,解得满足上述不等式的最小正整数n=6.∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积点该年建造住房面积的比例首次大于85%。【点评】本题的第（Ⅰ）问该市历年所建中低价房的累计面积涉及到等差数列的前项的和.第（Ⅱ）问新建住房面积形成数列是一个等比数列,找准这两个数学模型,解题并不困难,而对第（Ⅱ）问的不等式,最好采用估算.【例4】．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解：（Ⅰ）由题可设安全负荷为正常数），则翻转90º后，安全负荷．因为，所以，当时，．安全负荷变大；当时，，安全负荷变小．（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则，即． 枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大∴用心爱心专心adl当且仅当即取，时，u最大，即安全负荷最大．【例5】．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混...