课时跟踪训练(十七)抛物线的简单性质1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为()A．4B．－2C．4或－4D．2或－22．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．44．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于()A．4B．8C．8D．165．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是____________________．6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．8．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；1(2)若OA⊥OB，求实数m的值．答案1．选C由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p＞0)，则＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.2．选C根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.3．选C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.4．选B由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.5．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.∴|y|＝＝＝|a|.由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.答案：y2＝±6x6．解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.答案：②⑤7．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即∴＝＝3.解得：p＝1，y0＝±2，∴抛物线方程为y2＝2x.∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：|OM|＝＝2.8．解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故实数m的值为－8.3
