第1课时椭圆A级基础巩固一、选择题1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋＝1B．x2＋＝1C．y2＋＝1D．y2＋＝1解析：易知cosθ＝x，sinθ＝，所以x2＋＝1.答案：A2．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A．0B．1C．0或1D．2解析：由得x＋y－2＝0(－1≤x≤0，1≤y≤2)，由得＋＝1.可知两曲线交点有1个．答案：B3．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点P的坐标是()A．(3，4)B.C．(－3，－4)D.解析：因为＝tanθ＝tan＝1，所以tanθ＝，所以cosθ＝，sinθ＝，代入得点P的坐标为.答案：D4．椭圆(θ为参数)的焦距为()A.B．2C.D．2解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，所以2c＝2.答案：B5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x－y－a＝0过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为()A．3B．－3C．2D．－2解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过椭圆的右顶点(3，0)．则3－0－a＝0，所以a＝3.答案：A二、填空题6．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公1共点在x轴上，则a＝________．解析：因为消去参数t得2x＋y－3＝0.又消去参数θ得＋＝1.方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将代入＋＝1，得＝1.又a>0，所以a＝.答案：7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．解析：设P(4cosθ，2sinθ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得即(θ为参数)，消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.答案：＋＝18．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则|PA|＝＝＝＝|3cosθ－5|≤8，当cosθ＝－1时，|PA|最大，此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5，0)．答案：(－5，0)三、解答题9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，解得t2＝，所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，所以交点坐标为.9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，解得t2＝，所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，所以交点坐标为.B级能力提升1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为()A．2B．4C.＋D．2解析：椭圆为＋＝1，设P(cosθ，2sinθ)，x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin≤2.答案：D2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆，(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．2解析：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b得：4sinθ＝2cosθ＋b.因为恒有公共点，所以方程有解．令f(θ)＝b＝4sinθ－2cosθ＝2sin(θ－φ).所以－2≤f(θ)≤2.所以－2≤b≤2.答案：[－2，2]3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos＋2.由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.3
