高考达标检测（二十二）平面向量的数量积及应用一、选择题1．(2017·江西八校联考)已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B由题知a2＝a·b，而cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°，故选B.2．(2016·长春三模)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A.B.C.D.解析：选D由|a＋b|＝|a－b|⇒|a＋b|2＝|a－b|2⇒a·b＝0，|a－b|＝2|a|⇒|a－b|2＝4|a|2⇒|b|＝|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.3．O是△ABC所在平面内的一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状一定是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形解析：选C (OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝(OB－OC)·[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝(OB－OC)·(AB＋AC)＝CB·(AB＋AC)＝(AB－AC)·(AB＋AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．4.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是()A.B．2C．0D．1解析：选A AF＝AD＋DF，AB·AF＝AB·(AD＋DF)＝AB·AD＋AB·DF＝AB·DF＝|DF|＝，∴|DF|＝1，|CF|＝－1，∴AE·BF＝(AB＋BE)·(BC＋CF)＝AB·CF＋BE·BC＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.5．(2017·东北三校联考)在△ABC中，A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是()A.B．2C.D．6解析：选C在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a.因为AB·AC＝－1，所以bccos120°＝－1，即bc＝2，在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°＝b2＋c2＋bc≥3bc＝6，所以a≥，即|BC|的最小值是.6.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为()A．－1B．－C.D．2解析：选D注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD＋BE＝2BC.又BE－CE＝BE＋EC＝BC，且|BC|＝T＝×＝1，因此(BD＋BE)·(BE－CE)＝2BC2＝2，选D.7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若AE·BF＝－9，则λ的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B依题意得AE＝AB＋BE＝BC－BA，BF＝BC＋BA，因此AE·BF＝·＝BC2－BA2＋BC·BA，于是有×62＋×62×cos60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.8．(2016·银川调研)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21解析：选A建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时，取“＝”．故选A.二、填空题9．(2017·兰州诊断)已知向量a，b满足|b|＝4，a在b方向上的投影是，则a·b＝________.解析：a在b方向上的投影是，设θ为a与b的夹角，则|a|·cosθ＝，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2.答案：210．已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，若(5α－2γ)·(12β－2γ)＝0，则|γ|的最大值是________．解析：因为α·β＝0，|α|＝|β|＝1，所以(5α－2γ)·(12β－2γ)＝60α·β－10α·γ－24β·γ＋4γ·γ＝0，即2|γ|2＝5α·γ＋12β·γ＝(5α＋12β)·γ，当γ与5α＋12β共线时，|γ|最大，所以4|γ|2＝(5α＋12β)2＝25|α|2＋120α·β＋144|β|2＝25＋144＝169，所以|γ|＝.答案：11．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，梯形所在平面内一点P满足BA＋BC＝2BP，则PC·PD＝________.解析：以BC，BA为邻边作矩形ABCE，则BC＋BA＝BE， BA＋BC＝2BP，故P是BE的中点，连接PC，∴PD＝AB＝1，CP＝AC＝，CD＝＝，cos∠CPD＝＝－，PC·PD＝|PC|·|PD|cos∠CPD＝1××＝－1.答案：－112.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若向量AM＝AB＋m·AC，且AM的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则AM·BM的取值范围是________．解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则B(4,0)，C(0,4)，D(2,2)，M(1,4m)，m∈，AM·BM＝(1,4m)·(－3,4m)＝16...
