关于最值——常见解析几何中的一些最值问题摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量引言：中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：一、利用二次函数的知识求最值关于二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R当x=-时，y=为最值。当a>0时，有ymin当a<0时，有ymax但通常二次函数有相应的定义域，自变量x的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况：1、x∈R，当a>0，则有ymin=当a<0，则有ymax=2、当x定义在闭区间，即x∈[a，b]（a,b为常数），则应当看对称轴x=-是否在此区间，如果x在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。当x定义在一个含参数的闭区间即[t,t+a]（t为参数，a为常数）时，需要对参数进行讨论。用心爱心专心116号编辑例1.1已知二次函数y=x2-sec+（为参数，cos≠0）①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。分析：由于该二次函数y的定义域为R，所以这道题应归结于上述类别1。对于问题①虽然所给解析式中含有参数，（为抛物线系）但实际上它是一个关于自变量x的二次函数，通过配方，可对其变形，得到该抛物线的顶点，观察后可以判断这是一个含有参数的轨迹方程。此时，消掉参数即可求解；对于问题②，已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程，要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离，首先应该把该动点设出，其次要确定该直线的方程，这样方可根据点到直线的距离公式，得出所求最值的函数对象，从而求得最值。随之确定这个点。解：①由y=x2-2xsec+y=x-2xsec+sec2=(x-sec)2+tg设该抛物线系的顶点为（x，y）则有：此时消去参数即得：x2-y2=1即顶点轨迹为此双曲线②设抛物线y=x2+2x+6上的动点为（）双曲线的渐近线分别是为x+y=0与x-y=0则代入公式得到： ∴当时，当时，用心爱心专心116号编辑∴，亦即在此抛物线上的点到双曲线的渐近线x+y=0的距离最短，其值为。例1.2试用a表示从点P（0,a）到曲线y=||上的点Q（x,y）的距离的最小值（a>1）。分析：本题所要求解的是y轴上指定范围内的动点P到已知曲线上的最短距离，观察因已知曲线的解析式含有绝对值，故须对自变量x的取值先进行讨论，去掉绝对值符号，然后明确所求极值的函数对象，经分析，该抛物线的对称轴数值能够取在x的定义域范围内，故有最值存在。解：由当，即时设曲线上的点Q（）故 ，而a>1（已知）∴当时，即|PQ|min=同理，当，即时y=解得：|PQ|min=a-12a+1-(a-1)2=4a-a2=a(4-a)又a>1∴当1
4时，有，即|PQ|min=用心爱心专心116号编辑例1.3已知抛物线（x-1）2=y-1，x，其y的最小值是g(t)，试写出S=g(t)的解析表达式，并画出其图象。分析：该题的目标函数已经给出，y=(x-1)2+1，自变量x是定义在一个含有参数t的闭区间内，此时需求参数t与抛物线对称轴点的位置关系进行讨论。如图（1）当即,ymin=1当，即时，当时，经求解可知S=g(t)是一个关于t的分段函数。如图（2）yy=(x-1)2+1g(t)Ott+1xOtx=1（1）（2）补充说明：当x是定义在一个闭区间[a,b]（a,b为常数），但抛物线为动抛物线（或一些一元双二次式）时，仍需讨论。二、运用判别式求解让我们先具体看一下例题，找出这类求解方法的题目特征例2.1已知定点P（3，2）和直线，试在直线上求一点Q，使过PQ的直线与直线以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小。分析：本题设问的是达到最值时过PQ的直线，此时我们需要根...
