第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点问题4构造函数法研究函数零点问题1,2,31.(2016济南模拟)已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).(1)若函数f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值;并求此时f(x)在[-2,1]上的最大值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=ex+a,由函数f(x)在x=0处取得极值,则f′(0)=1+a=0,解得a=-1,即有f(x)=ex-x+1,f′(x)=ex-1,当x<0时,有f′(x)<0,f(x)递减,当x>0时,有f′(x)>0,f(x)递增.则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2,又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)>f(1),即有f(-2)为最大值e-2+3;(2)函数f(x)不存在零点,即为ex+ax-a=0无实数解,由于x=1时,e+0=0显然不成立,即有a∈R且a≠0.若x≠1,即有-a=,令g(x)=,则g′(x)=,当x>2时,g′(x)>0,g(x)递增,当x<1和1
0解得00},当a=-时,f(x)=--1+lnx,所以f′(x)=-+=-,当00;当x>e时,f′(x)<0,所以f(x)的单调增区间为(0,e),减区间为(e,+∞),所以f(x)max=f(e)=-1,所以|f(x)|≥1.令h(x)=+,则h′(x)=.当00;当x>e时,h′(x)<0,从而h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(e)=+,要使方程|f(x)|=+有实数根,只需h(x)max=h(e)=+≥1即可,则b≥2-,即b的取值范围是[2-,+∞).3.(2016菏泽市模拟)设函数f(x)=lnx-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(00;当x>1时,f′(x)<0,所以f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);(2)由题意知F(x)=lnx+,x∈(0,3],则有k=F′(x0)=≤在(0,3]上恒成立,所以a≥(-+x0)max,当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥;(3)当a=0,b=-1时,f(x)=lnx+x,由f(x)=mx,得lnx+x=mx,又x>0,所以m=1+,要使方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x>0),所以g′(x)=,由g′(x)>0得0e,所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1≤m<1+,即m的取值范围是[1,1+).4.(2016长春市模拟)已知函数f(x)=,其中a为实数,常数e=2.718….(1)若x=是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)当a=-4时,求函数f(x)的单调区间;(3)当a取正实数时,若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m有三个实数根,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=因为x=是函数f(x)的一个极值点,所以f′()=0,即a-a+1=0,a=.而当a=时,ax2-2ax+1=(x2-2x+)=(x-)(x-),可验证:x=是函数f(x)的一个极值点.因此a=.(2)当a=-4时,f′(x)=令f′(x)=0得-4x2+8x+1=0,解得x=1±,而x≠±.所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化是x(-∞,-)(-,1-)1-(1-,)(,1+)1+(1+,+∞)f′(x)--0++0-f(x)↘↘极小值↗↗极大值↘因此f(x)的单调增区间是(1-,),(,1+);f(x)的单调减区间是(-∞,-),(-,1-),（1+,+∞）;(3)当a取正实数时,f′(x)=,令f′(x)=0得ax2-2ax+1=0,当a>1时,解得x1=,x2=.f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,但是函数值恒大于零,极大值f(x1),极小值f(x2),并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x→+∞时,f(x)=→+∞,当x→-∞时,f(x)=→0.因此当f(x2)
