中档题满分练(二)1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-.(1)求cosA的值;(2)若a=4,b=5,求B和c.2.如图,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.(1)求证:BF∥平面ACE;(2)求证:BF⊥BD.3.如图(示意),公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km,km.现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.4.如图,已知椭圆C:+y2=1,A、B是四条直线x=±2,y=±1所围成矩形的两个顶点.1(1)设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;(2)若M、N是椭圆C上两上动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,说明理由.中档题满分练(二)1.解(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-.即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cos(A-B+B)=-.因此,cosA=-.(2)由cosA=-,0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,a=4,b=5,所以sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理有(4)2=52+c2-2×5c×,整理得c2+6c-7=0,解得c=1或c=-7(舍去).2.证明(1)设AC与BD交于O点,连接EO.正方形ABCD中,BO=AB,又因为AB=EF,∴BO=EF,又因为EF∥BD,∴EFBO是平行四边形,∴BF∥EO,又∵BF⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,∴BF∥平面ACE.(2)正方形ABCD中,AC⊥BD,又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,BD⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,∴BD⊥平面ACE,∵EO⊂平面ACE,∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD.3.解如图,以A为原点,AB为x轴,建立平面直角坐标系.2因为tanα=-2,故直线AN的方程是y=-2x.设点P(x0,y0).因为点P到AM的距离为3,故y0=3.由P到直线AN的距离为,得=,解得x0=1或x0=-4(舍去),所以点P(1,3).显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y-3=k(x-1),k∈(-2,0),令y=0,得xB=1-,由得yC=.设△ABC的面积为S,则S=·xB·yC==-1+,由S′==0,得k=-或k=3,当-2<k<-时,S′<0,S单调递减;当-<k<0时,S′>0,S单调递增,所以当k=-,即AB=5时,S取最小值15.所以当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2.4.(1)证明易求A(2,1),B(-2,1).设P(x0,y0),则+y=1.由OP=mOA+nOB,得所以+(m+n)2=1,即m2+n2=.故点Q(m,n)在定圆x2+y2=上.(2)解设M(x1,y1),N(x2,y2),则=kOA·kOB=-.平方得xx=16yy=(4-x)(4-x),即x+x=4.因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为d=,所以△OMN的面积S=MN·d=|x1y2-x2y1|====1.故△OMN的面积为定值1.3