江苏省高三数学专题复习 中档题满分练（2）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

中档题满分练(二)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求B和c.2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.3.如图(示意)，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．4.如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成矩形的两个顶点．1(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．中档题满分练(二)1．解(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－.即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cos(A－B＋B)＝－.因此，cosA＝－.(2)由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，由正弦定理，有＝，a＝4，b＝5，所以sinB＝＝.由题知a＞b，则A＞B，故B＝.根据余弦定理有(4)2＝52＋c2－2×5c×，整理得c2＋6c－7＝0，解得c＝1或c＝－7(舍去)．2.证明(1)设AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.3．解如图，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．2因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x.设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3.由P到直线AN的距离为，得＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)，令y＝0，得xB＝1－，由得yC＝.设△ABC的面积为S，则S＝·xB·yC＝＝－1＋，由S′＝＝0，得k＝－或k＝3，当－2＜k＜－时，S′＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S′＞0，S单调递增，所以当k＝－，即AB＝5时，S取最小值15.所以当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2.4．(1)证明易求A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则＋y＝1.由OP＝mOA＋nOB，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝kOA·kOB＝－.平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1.故△OMN的面积为定值1.3